Konvergent/Divergent

Vet inte om detta hjälper dig men om du integrerar (b) erhåller du (lite per definition):

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{e^{x}}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{Ei}\left(\infty\right)-\mathrm{Ei}\left(1\right)=\infty$

Alltså divergerar integralen.

Mitt försök.

(a) integralen av e^–x konv. Delar du med x blir det ännu mindre. Konvergent.

(b) integranden går inte mot noll. Divergent.

(c) integranden kan skrivas 1/x + ngt positivt. Integralen av 1/x är divergent, alltså divergent.

(d) integranden går inte mot noll. Divergent. 

Inte så stringent, men hur jag tänker.

naytte skrev:

Vet inte om detta hjälper dig men om du integrerar (b) erhåller du (lite per definition):

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{e^{x}}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{Ei}\left(\infty\right)-\mathrm{Ei}\left(1\right)=\infty$

Alltså divergerar integralen.

Tror inte riktigt jag hänger med Ei delen? 

Marilyn skrev:

Mitt försök.

(a) integralen av e^–x konv. Delar du med x blir det ännu mindre. Konvergent.

(b) integranden går inte mot noll. Divergent.

(c) integranden kan skrivas 1/x + ngt positivt. Integralen av 1/x är divergent, alltså divergent.

(d) integranden går inte mot noll. Divergent. 

Inte så stringent, men hur jag tänker.

Hur skulle man kunna argumentera om det?

Ett nödvändigt villkor för att int (integralen) från a till oändligheten av f(x) dx ska vara konvergent är att f(x) går mot noll när x går mot oändligheten. Där faller (b) och (d) bort, de är divergenta.

(a) Vi kan bestämma int från 1 till oändl av e^–x dx, det är (–e^–oändl) –(–e^–1) = 1/e, alltså konvergent.
För alla x > 1 är 0 < e^–x/x < e^–x så den givna int konvergerar också.

(c) Int av x/x² är (ln oändl) – (ln 10) så int av 1/x är divergent.
Både 1/x och (ln x)/x² är positiva så även int av deras summa är divergent.

Det stämmer inte att $f(x)\to 0$ då $x \to \infty$ är nödvändigt för att integralen $\int_1^\infty f(x) dx$ skall vara konvergent. Det kan nämligen hända att gränsvärdet av f(x) då $x\to\infty$ saknas, men integralen är ändå konvergent.

T.ex. $\int_0^\infty \sin(x^2) dx = \sqrt{\pi/8}$ är betingat konvergent. Man kan även hitta motexempel där funktionen inte växlar tecken, men just nu kommer jag inte på något särskilt enkelt exempel. Ett "krångligt" exempel är:

$f(x)=\left\{\begin{array}{rl}1& då\;n<x<n+2^{-n},\;n\in N\;\\0&annars\end{array}\right.$

Med denna krångliga icke-negativa funktion blir $\int_1^\infty f(x)\,dx = 1$, d.v.s. integralen är konvergent.

Om $f(x) \to L$ då $x\to \infty$, där $L\neq 0$, så kommer integralen divergera enligt jämförelsekriteriet.

I deluppgiften (b) som frågan handlar om, så kan man utnyttja att $x < e^{x/2}$ och därför är $\frac{e^x}{x} > \frac{e^x}{e^{x/2}} = e^{x/2}$ vars integral är divergent. Enligt jämförelsekriteriet är även den givna integralen divergent.

OK, tack LuMa07. Frågan var kanske krångligare än jag insåg.