konvergent/divergent

om arean av en viss funktion f(x) från a till $\infty$ , existerar eller är ändlig, är funktionen konvergent, annars divergent. Ett exempel på en konvergent funktion är $\frac{1}{x^{2}}$ , men $\frac{1}{x}$ är divergent när man går från 1 till $\infty$ . Vad beror detta på? Hur snabbt måste en funktion "stabilisera sig" för att ett gränsvärde ska existera. $\frac{1}{x}$ Går mot 0 på samma som $\frac{1}{x^{2}}$ gör. Det absolut enda som skiljer sig är hur snabbt, men hur snabbt och varför?

Titta på funktionen

$f(x)= \dfrac{1}{x^a}$

för olika värden på a.

Kan du hitta en primitiv funktion till f(x)?

Dr. G skrev:
Titta på funktionen

$f(x)= \dfrac{1}{x^a}$

för olika värden på a.

Kan du hitta en primitiv funktion till f(x)?

för värden a $\neq$ 1 är primitiva: $\frac{x^{- a + 1}}{a + 1}$ för a=1 : $\ln (x)$

Precis (i alla fall för x > 0).

Vad händer med arean i fråga för olika värden på a?

(Inser nu att a var ett dåligt val på exponenten, eftersom a även hade en annan betydelse i uppgiften. Byt namn på exponenten från a till något annat.)

Tillägg: 8 jan 2024 23:14

Och blev nämnaren rätt?

Dr. G skrev:
Precis (i alla fall för x > 0).

Vad händer med arean i fråga för olika värden på a?

(Inser nu att a var ett dåligt val på exponenten, eftersom a även hade en annan betydelse i uppgiften. Byt namn på exponenten från a till något annat.)

Tillägg: 8 jan 2024 23:14

Och blev nämnaren rätt?

a=b

arean beror på var vi mäter ifrån och slutar. från 1 och större (på x)blir arean mindre och mindre ju större b vi har och större ju lägre b vi har. om vi beräknar arean från 0 till inf blir det annorlunda.

Svara

Visa senaste svar