Konvergensintervall för potensserie

Låt $c_{n}$ vara så att $\frac{\sin x}{x^{2} + 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - 2)}^{2}$ i något intervall omkring 2.

a) Vilken är det största reella intervall där potensserien konvergerar?

b) Beräkna $c_{0}$ och $c_{1}$ .

a) Här tänker jag att funktionen (som vi kan kalla f) har två singulariteter i x = +- i. Konvergensradien R är avståndet från punkten 2 till närmsta singularitet. Jag får då med pythagoras sats att $R = \sqrt{5}$ . Och därmed borde väl det reella konvergensintervallet bli alla tal mellan $2 - \sqrt{5}$ och $2 + \sqrt{5}$ ?

Har jag tänkt rätt?

Är intervallet öppet eller stängt? Jag har skrivit $[2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}]$ men känns som att ändpunkterna kanske inte borde ingå eftersom singulariteterna då ingår i området.

b) Här är det väl bara som vanligt att $c_{n} = \frac{f^{(n)} (2)}{n!}$ ? Känns uppenbart, men blev osäker.

Jag får att

$c_{0} = \frac{f (2)}{0!} = \frac{\sin 2}{2^{2} + 1} = \frac{\sin 2}{5}$ .

$c_{1} = \frac{f' (2)}{1!} = \frac{\cos (2) \cdot (2^{2} + 1) - \sin (2) \cdot 2 \cdot 2}{{(2^{2} + 1)}^{2}} = \frac{5 \cos (2) - 4 \sin (2)}{25}$ .

Att det blir så fula värden får mig att höja på ögonbrynet, men visst måste väl detta stämma?

Trevlig uppgift. Vilken kurs kommer den från? Viss kännedom om holomorfa fkner verkar behövas. Lösningen är OK så vitt jag kan bedöma.

Betr konvergensskivans rand så är f inte holo där, men den kan vara kontinuerlig i vissa punkter på randen skilda från +-i. Jag är inte säker där, men det lutar åt slutet intervall. f är ju kontinuerlig i de båda ändpunkterna och seriens delsummor är en ”väg” inifrån mot dessa. Då måste följden konvergera.

Tomten skrev:
Trevlig uppgift. Vilken kurs kommer den från? Viss kännedom om holomorfa fkner verkar behövas. Lösningen är OK så vitt jag kan bedöma.

Den kommer faktiskt från en tenta som jag skrev igår i kursen Funktionsteori. Du kanske känner till kursen, men den innehåller i alla fall mestadels komplex analys, men också mycket om serier, framför allt fourierserier och potensserier.

Jag sitter och nervöst kontrollräknar alla uppgifter hemma, så jag är glad att höra att lösningen verkar OK! Jag hoppas att min rättare inte är helt för sträng vad gäller intervallets ändpunkter.

Svara