Konvergens och divergens för serier
Som jag har förstått så är en serie konvergent om det existerar ett gränsvärde när x går mot oändligheten. Men om vi tar följande summa, , så divergerar den mot oändligheten trots att gränsvärdet . Hur kommer det sig att den divergerar trots att vi närmar oss 1/2 när vi rör oss mot oändligheten?
Det blir många termer... Vad är 1/2 gånger oändligheten?
Bubo skrev:Det blir många termer... Vad är 1/2 gånger oändligheten?
Förstår inte varför jag ska ta oändligheten*1/2?
Har vi konvergens gäller det alltid att termen innanför summationen går mot 0 när n går mot oändlighet.
På samma sätt gäller att om termen innanför summationen INTE går mot 0 när n går mot oändlighet, så har vi ingen konvergens. Om termen går mot 1/2 så betyder det ju att för tillräckligt stora n så adderar du 1/2 upprepligt många gånger. Det vill säga summationen blir större och större hela tiden.
Då har du ingen konvergens. Därav Bubos kommentar, oändligheten *1/2.
johannes121 skrev:Har vi konvergens gäller det alltid att termen innanför summationen går mot 0 när n går mot oändlighet.
På samma sätt gäller att om termen innanför summationen INTE går mot 0 när n går mot oändlighet, så har vi ingen konvergens. Om termen går mot 1/2 så betyder det ju att för tillräckligt stora n så adderar du 1/2 upprepligt många gånger. Det vill säga summationen blir större och större hela tiden.
Då har du ingen konvergens. Därav Bubos kommentar, oändligheten *1/2.
Tror jag blandar serier och summor, för visst är det så att om ett gränsvärde existerar för en serie så är den konvergent. Så därför måste alltid seriens gränsvärde vara 0 för att summan ska vara konvergent av just den anledning du påpeka, nämligen 1/2 adderas med sig självt oändligt många gånger -> inget fix gränsvärde.
En serie brukar man oftast associera med en oändlig summation av termer, medan summor är ändliga.
Som du säger så är serien är ett gränsvärde av en summation när vi låter antalet termer gå mot oändlighet.
Och ja precis, det är ett så kallat NÖDVÄNDIGT villkor att termen innanför serien går mot 0 för att serien ska vara konvergent. Däremot finns det divergenta serier där termen går mot 0, tag exempelvis serien vars term är 1/n. Denna serie kallas för den harmoniska serien, och det är lätt att se att termen går mot 0 när n går mot oändlighet, men ändå divergerar serien.
Träna på att göra många uppgifter med konvergens / divergens. Hade själv stora bekymmer med det i början, men med lite övning så satt det mycket bättre :)
johannes121 skrev:En serie brukar man oftast associera med en oändlig summation av termer, medan summor är ändliga.
Som du säger så är serien är ett gränsvärde av en summation när vi låter antalet termer gå mot oändlighet.
Och ja precis, det är ett så kallat NÖDVÄNDIGT villkor att termen innanför serien går mot 0 för att serien ska vara konvergent. Däremot finns det divergenta serier där termen går mot 0, tag exempelvis serien vars term är 1/n. Denna serie kallas för den harmoniska serien, och det är lätt att se att termen går mot 0 när n går mot oändlighet, men ändå divergerar serien.
Träna på att göra många uppgifter med konvergens / divergens. Hade själv stora bekymmer med det i början, men med lite övning så satt det mycket bättre :)
Jag ska ta ditt tips och öva mer :) tack för hjälpen!
