Konvergens och divergens

1/x går från 1 när x = 1 till 0 när x närmar sig oändlighet. 

cos(0) = 1 och cos(1) > 1/2. T.ex är cos(π/3) = 0.5 och cosinus är en avtagande funktion för vinklar i första kvadranten, så cos(1) > cos(π/3), eftersom 1 < π/3. 

väjer man bara ett värde som är mindre än cos(0) och cos(1)? varför inte 1/3 eller 1/4? 

Om jag förstått rätt har man alltså integralen ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{2}dx$= $\underset{r\to \infty }{\lim }{\int }_1^R\frac{1}{2}dx$=R/2-1/2=$\infty$

som är divergent och därför är den tidigare integralen också det? 

På intervallet gäller att

$\cos(\frac{1}{x}) \geq \cos 1> \frac{1}{2}$

Här går det dock lika bra att ta i lite, så det räcker att använda att t.ex

cos(1/x) > k = 0.00001

eller någon annan konstant större än 0 (och mindre än cos(1)). (Du kan ta 1/3 eller 1/4 om du vill.)

Varför räknar man ifrån integranden direkt, ska man inte integrera funktionen först?

Det går inte att räkna ut en primitiv funktion på sluten form!

om primitiva funktionen inte finns så kan man alltså bara räkna direkt från integranden?

För en jämförelse, ja. 

(Förhoppningsvis för en relevant jämförelse.)

Hur avgör man då om denna är konvergent eller divergent: 

${\int }_1^{\infty }\frac{1}{{\tan }^{-1}\left(x\right)}dx$

Vad händer med integranden när x går mot oändligheten?

Den går mot pi/2, så 1/arctan(x) < 2/pi 

Behöver man beräkan integralen med 2/pi som integrand nu eller vet man direkt att integralen är  konvergent?

Kan den vara konvergent om integranden inte går mot 0 för stora x när intervallet är oändligt långt?

Ojdå såklart inte! Men jag räknar ut integralen och får 2x/pi - 2/pi och när x går mot oändligheten så går integralen också mot oändligheten och därigenom har jag avgjort att den är divergent. 

Men då borde integralen alltid divergent om integranden inte går mot 0 för x->oänlighet. Stämmer det?

Nej. Man kan tänka så, för det är nästan alltid sant, men det finns undantag så använd det aldrig som motivering. Ett motexempel är tex om man har en funktion som går upp/ner i smalare och smalare staplar. Deras area kan bli en konvergent summa.

så man ska alltid säkerställa genom att räkna ut integralen?

Nej, ibland går det inte att hitta en primitiv funktion på sluten form, så det går då oftast inte att beräkna integralen exakt. 

Det Mickimacko tar upp gäller diskuntinuerliga funktioner som inte är integrerbara i vanlig (Riemann-)mening. 

Här kan man konstatera att integranden alltid är större än 2/π, vilket med en oändligt intervallängd gör att integralen divergerar. 

Det går jättebra att göra tex trianglar istället om man vill ha det kontinuerligt. En ganska snäll funktion som går att rita.

Micimacko skrev:

Det går jättebra att göra tex trianglar istället om man vill ha det kontinuerligt. En ganska snäll funktion som går att rita.

Ja, du har rätt och jag hade fel! Det går ju när integranden snabbt växlar tecken.

$f(x) = \sin(x^2)$

är ett annat exempel.