Konvergens hastighet & markovkedjor
Hej,
Låt A vara en sannolikhetsmatris och den minsta elementet i A. Vi försöker hitta x så att Ax = x. (jämnviktsläget)
Skulle någon förklara varför den andra största egenvärdet av en sannolikhetsmatris är och därmed konvergenshastigheten av x lika med ?
Här är lite bakgrund och exempel:
Detta är min tolkning av resonemanget: Eftersom är en sannolikhetsmatris summerar alla kolonner till 1. För att skapa matrisen har vi dragit bort från varje element, och således har totalt dragits från varje kolonn (eftersom ). Kolonnerna i summerar nu till .
Vi kan tänka oss att vi tar en annan lämplig sannolikhetsmatris , och multiplicerar med denna faktor så att kolonnerna summerar till . Då kan vi skriva . :s egenvärden är inte större än 1 (eftersom det är en sannolikhetsmatris), och egenvärdena till är därför inte större än . Därför är vi garanterade konvergens som långsammast .