Konvergens för funktionsserier

Hejsan, jag har fastnat på ett kapitel som handlar om konvergens för funktionsserier. Uppgiften som jag behöver hjälp med är :

För vilka x konvergerar serien.

$s (x) = \sum_{k = 1}^{i n f i n i t y} (\frac{x^{2}}{(1 + x^{2})^{k}})$ . I facit påstår dem s(x) = 0 då x = 0, annars om x är skilt ifrån 0 så är s(x)=0. Den konvergerar alltså för alla reella x.

Man ska också komma fram till att konvergensen inte är likformig på R.

Om komplexa tal tillåts så fås konvergens vid z=0 samt för de z som uppfyller att $|1 + z^{2}| 1$

Förstår inte riktigt hur man löser dessa typer av tal så behöver hjälp med det

Hmm... som du skrev det, är det antingen summa av nollor (x=0) eller en geometrisk summa med kvoten $q = \frac{1}{1 + x^{2}}$ . Likformig konvergens på R blir det inte, då för varje epsilon och N hittar du ett tillräckligt litet x så att $\frac{1}{(1 + x^{2})^{N}} > ε$ . Den komplexa delen bör vara nu enkel också: när $|1 + z^{2}| > 1$ är beloppet av geometriska summans kvot mindre än ett. Då konvergerar summan.

Instämmer. Och eftersom det konvergerar mot en diskontinuerlig funktion kan inte kovergensen vara likformig.

Svara