Konvergens eller divergens, generaliserad integral

Varför är det en jobbig integral? Ansätt x = sin(u) och du är klar. 

Edit: Du kanske inte vet hur man hanterar arccos(2)? Jo, men då är den lite jobbig. Det som händer är att du får roten ur (-1) i nämnaren. Men, arccos(2) är ett imaginärt tal så den imaginära enheten divideras bort.

Nu var det länge sedan jag arbetade med generaliserade integraler, men borde du inte kunna argumentera för att $\sqrt{x^2-1}<\sqrt{x^2}$ och därför är${\int }_1^2\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x^2-1}}<{\int }_1^2\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x^2}}$?

EDIT: "Jag kan försöka svara i denna tråd trots att jag är jättetrött, vad kan gå fel?" ...glöm detta inlägg.

Smutstvätt skrev:

Nu var det länge sedan jag arbetade med generaliserade integraler, men borde du inte kunna argumentera för att $\sqrt{x^2-1}<\sqrt{x^2}$ och därför är${\int }_1^2\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x^2-1}}<{\int }_1^2\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x^2}}$?

Ger inte detta mig att ${\int }_1^2\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x^2-1}}>{\int }_1^2\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x^2}}$mellan 1<x<2 eller tänker jag fel?

Smutstvätt skrev:

Nu var det länge sedan jag arbetade med generaliserade integraler, men borde du inte kunna argumentera för att $\sqrt{x^2-1}<\sqrt{x^2}$ och därför är${\int }_1^2\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x^2-1}}<{\int }_1^2\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x^2}}$?

Hej,

Nu påstår du att eftersom $2<3$ så är $1/2 <1/3.$

Smutstvätt behöver åka ett par varv i tvättmaskinen. :(

Smutstvätt skrev:

Smutstvätt behöver åka ett par varv i tvättmaskinen. :(

haha! ingen fara.

Smutstvätt kommer med ett nytt förslag istället! (Detta har jag dubbelkollat med grafritande miniräknare)

$x<x+1$, vilket innebär att ${\int }_1^2\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x^2-1}}<{\int }_1^2\frac{\sqrt{x+1}dx}{\sqrt{x^2-1}}$. Förenkling av integranden ger då att ${\int }_1^2\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{x^2-1}}<{\int }_1^2\frac{\sqrt{x+1}dx}{\sqrt{x^2-1}}={\int }_1^2\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx$. :) 

Hej Karlstroom,

Det gäller att $\sqrt{x}\leq\sqrt{x+1}$ varför Konjugatregeln ger

    $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2-1}}\leq(x-1)^{-0.5}$

och integralen av denna funktion är ändlig.

Grymt! Tack så mycket. :)