konvergens eller divergens för summan?

fråga: ${\sum \frac{1 + j + \ln j}{j^{2} - 1}}_{j = 4}^{\infty}$

man ska bestämma om den är divergent eller konvergent. Jag fick rätt svar vilket är divergent, men jag undrar över om mitt resonemang stämmer och om man skulle kunna förbättra den eller visa divergens på nåt annat sätt?

min lösning:

${\sum \frac{1 + j + \ln j}{j^{2} - 1}}_{j = 4}^{\infty} f (j) = \frac{1 + j + \ln j}{j^{2} - 1} g (j) = \frac{1 + j + \ln j}{j^{2}} d ä r g (j) \approx f (j) a p p r o x i m a t i o n A n v ä n d e m i g a v j ä m f ö r e l s e s a t s e n . f i c k a t t \int_{4}^{\infty} g (j) d i v e r g e r a r, d v s d å m å s t e s u m m a n o c k s å d i v e r g e r a e n l i g t j ä m f ö r e l s e s a t s e n$

Det är en bra början. Nu måste du bevisa/motivera varför g(j) är mindre än f(j), samt varför g(j) divergerar. :)

pepparkvarn skrev:
Det är en bra början. Nu måste du bevisa/motivera varför g(j) är mindre än f(j), samt varför g(j) divergerar. :)

Jo jag vet hur man visar att integralen av g(j) går mot oändligheten, men hur motiverar jag att f(j)>g(j)?

j² är alltid positivt. Om du subtraherar ett blir nämnaren j² mindre, och hela uttrycket blir då större. Precis som att $\frac{a}{b}$ är större än $\frac{a}{b + 1}$ (givet att a och b är positiva tal). Om du skriver en sådan motivation har du bevisat det du önskar. :) Du behöver kort sagt visa att genom att addera ett till nämnaren och lämna resten oförändrat, blir uttrycket mindre, givet att täljaren är positiv.

Svara

Visa senaste svar