Konvergens/Divergens av Integraler

Jag undrar hur jag borde tänka på b) uppgiften. Själv har jag kommit ganska lång men är osäker på ifall min lösning är rätt då det känns lite för lätt. Har använt mig av en jämförelse sats som innehåller division.

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\frac{1}{1 + x^{p}}}{1}}{x^{p}} = \frac{f (x)}{g (x)} = 1 O m p > 1 b l i r g (x) k o n v e r g e n t o c h d ä r m e d f (x) k o n v e r g e n t .$

Det ska vara lätt när man gör rätt 😉 Ser bra ut.

Men gäller det att g(x) konvergerar för p>1? För i min kurslitteratur står det att om integralen är från 0 till 1 konvergerar den för p < 1 och om integralen är från 1 till infinity konvergerar den för p > 1. Säger ingenting om 0 till infinity.

Stämmer, g(x) är inte konvergent med gränserna 0 till 1, så du får behandla den delen separat. Det går ju bra för f(x), den har inga problem i det intervallet.

Så jag borde dela upp integralen i 2 integraler, en från 0->1 och andra från 1->infinity. Det jag bevisat nu är att för p>1 är integral 2 konvergent?. Hur bevisar jag integral 0->1 isåfall?

(b) $\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^p}dx\le$
$1+\int_1^{\infty}\frac{1}{1+x^p}dx=...$

Ah nu ser jag, skulle aldrig ha tänkt på det där tack så mycket!

Alltså ska jag bara bevisa när det större uttrycket är konvergent?

RandomUsername skrev:
Alltså ska jag bara bevisa när det större uttrycket är konvergent?

Ja, om ditt uttryck är mindre än något som konvegerar så är du klar.

Är det dock möjligt att det större uttrycket divergerar men det mindre konvergerar? Skulle jag isåfall inte behöva bevisa det också

Eftersom din integral bara är generaliserad i en punkt finns det väl ingen anledning att bry sig om vad som händer någon annanstans?

Svara

Visa senaste svar