3 svar
173 visningar
lund behöver inte mer hjälp
lund 529
Postad: 1 nov 2021 19:52 Redigerad: 1 nov 2021 19:56

Konvergens/Divergens av generaliserade integraler

Hej, Jag har en fråga kring hur man kan avgöra om en generaliserad integral konvergerar eller divergerar, nedan är integralen samt min lösning:

Det som gör mig osäker är om jag får använda 1ex\frac{1}{e^x} som hjälpfunktion? Jag vet att man får göra det enligt Jämförelsekriteriet II om gränsvärdet blir större än noll, men hur är det egentligen om gränsvärdet går mot oändligheten?

Det som också gör mig osäker att att hjälpfunktionen 1ex\frac{1}{e^x} inte går att visa konvergens med enligt Jämförelsekriteriet I, men det kanske inte spelar någon roll om det fungerar enligt Jämförelsekriteret II?

Micimacko 4088
Postad: 2 nov 2021 12:37

Gränsvärdet får inte bli oändligt, det måste vara en konstant större än 0 men mindre än oändligheten för att du ska kunna använda jämförelse 2.

Tomten 1827
Postad: 2 nov 2021 16:21

En liten uppskattning kan kanske göra susen. Vi konstaterar först att integranden är positiv och kontinuerlig i hela integrationsintervallet.  För x stort nog, säg x> M gäller x < ex/2  Dela upp integralen i två delar den första: 1<=x<=M  som är en kompakt mängd vilket ger en begränsad integral. För den andra delen: x>M får vi integranden 0< x/e< ex/2/e = e-x/2 vars integral  konvergerar.

lund 529
Postad: 4 nov 2021 00:19
Micimacko skrev:

Gränsvärdet får inte bli oändligt, det måste vara en konstant större än 0 men mindre än oändligheten för att du ska kunna använda jämförelse 2.

Tack!

Svara
Close