Konvergens/Divergens av generaliserade integraler
Hej, Jag har en fråga kring hur man kan avgöra om en generaliserad integral konvergerar eller divergerar, nedan är integralen samt min lösning:
Det som gör mig osäker är om jag får använda som hjälpfunktion? Jag vet att man får göra det enligt Jämförelsekriteriet II om gränsvärdet blir större än noll, men hur är det egentligen om gränsvärdet går mot oändligheten?
Det som också gör mig osäker att att hjälpfunktionen inte går att visa konvergens med enligt Jämförelsekriteriet I, men det kanske inte spelar någon roll om det fungerar enligt Jämförelsekriteret II?
Gränsvärdet får inte bli oändligt, det måste vara en konstant större än 0 men mindre än oändligheten för att du ska kunna använda jämförelse 2.
En liten uppskattning kan kanske göra susen. Vi konstaterar först att integranden är positiv och kontinuerlig i hela integrationsintervallet. För x stort nog, säg x> M gäller x3 < ex/2 Dela upp integralen i två delar den första: 1<=x<=M som är en kompakt mängd vilket ger en begränsad integral. För den andra delen: x>M får vi integranden 0< x3 /ex < ex/2/ex = e-x/2 vars integral konvergerar.
Micimacko skrev:Gränsvärdet får inte bli oändligt, det måste vara en konstant större än 0 men mindre än oändligheten för att du ska kunna använda jämförelse 2.
Tack!
