Konvergens/Divergens av dubbelintegral

Hej! Jag har en uppgift här angående konvergens/divergens av en dubbelintegral som jag är ganska osäker på. Uppgiften är en ex-tenta uppgift och man får inte ha miniräknare på tentan.

Själv tänkte jag att om man tar integralen över hela området först och omvandlar till polära koordinater får man $\int_D \frac{x-y}{(x+y)^3}dxdy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty} \frac{cos\theta - sin\theta}{r(cos\theta + sin\theta)^3}drd\theta = C \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{1}{r}dr$ där C är vinkelintegralens värde och radiella integralen divergerar. Därför antog jag att hela integraluttrycket divergerar.

Dock satte jag in vinkelberoendet i wolfram och där stod det att vinkel integralen har värdet 0 dvs C = 0. Vad för slutsats kan man dra på grund av det? Man har ju inte tillgång till miniräknare under tentan, och vet därför inte att C = 0. Jag drog slutsatsen att integralen divergerar, men vet ej om det är rätt.

Att vinkelintegralen har värdet 0 kan man väl ta fram även utan räknare? Eller om man memorerat standardvärdena på sin och cos

Hur skulle det se ut? Kan inte få det och funka.

Arian02 skrev:
Hur skulle det se ut? Kan inte få det och funka.

Eller nevermind, jag trodde man kunde lösa det genom variabelbyte, ignorera det jag skrev

Vinkelintegralen blir inte 0. Och integralen går från $\theta=0$ till $\theta=\pi/4$ tänk på att $y<>$ enligt uppgiftstexten.

Testa substitutionen $t=\cos(\theta)+\sin(\theta)$

D4NIEL skrev:
Vinkelintegralen blir inte 0. Och integralen går från $\theta=0$ till $\theta=\pi/4$ tänk på att $y<>$ enligt uppgiftstexten.

Testa substitutionen $t=\cos(\theta)+\sin(\theta)$

I facit så har dem kollat på området under y < x som du säger, men jag gjorde inte på samma sätt, utan jag kollade på hela första kvadranten och integrerade i hela. Därför fick jag att vinkeln går från $\theta = 0$ till $\theta = \frac{\pi}{2}$ . Då blir vinkelintegralen 0.

Det jag undrar är att funkar min metod ändå? Eftersom jag integrerade i hela första kvadranten får jag som dem en vinkel integral (i det här fallet värdet 0) och en radiell integral (divergent). Vad blir det för slutsats?

Din metod integrerar ju över ett felaktigt område? Men $0\cdot bla bla=0$ Så du har visat att en annan integral än den som efterfrågas i frågan är konvergent.

D4NIEL skrev:
Din metod integrerar ju över ett felaktigt område? Men $0\cdot bla bla=0$ Så du har visat att en annan integral än den som efterfrågas i frågan är konvergent.

Är inte problemet över hela första kvadranten?

Jag tycker att den ska bli noll. Men det finns nog någon idé om att den ena integralen divergerar snabbare än den andra går mot noll.

En matematiker skulle nog prata om att det bara gäller vid generalisering genom Lebesgue integraler osv. Jag tycker att den bör bli noll även annars. Vi har även i deras fall $(a-a)\cdot \infty$ . Men kanske att $\lim_{r\rightarrow 0} 1/r$ snabbare går mot oändligheten än $a-a$ går mot noll i detta fall.

Du kan studera din ena integral med hjälp av substitutionen, så kanske det klarnar. Gör substitutionen som du blev tipsad om och studera intensiteten faktorerna sinsemellan.

Nja, det som ställer till det lite i uppgiften är att integranden byter tecken mitt i intervallet. Då måste man dela upp den i två delar och byta tecken för att få använda det "vanliga" sättet att räkna. Hur du ska göra i praktiken beror lite på vilken teknik ni lärt er.

Det vanligaste torde vara att sätta $f^+=f(x,y)$ när $f(x,y)\geq 0$ och $f^-=-f(x,y)$ då $f(x,y)<>$ . Då är båda delfunktionerna positiva och den ursprungliga integralen är konvergent om och endast om båda integralerna $\iint f^+$ och $\iint f^-$ är konvergenta.

D4NIEL skrev:
Nja, det som ställer till det lite i uppgiften är att integranden byter tecken mitt i intervallet. Då måste man dela upp den i två delar och byta tecken för att få använda det "vanliga" sättet att räkna. Hur du ska göra i praktiken beror lite på vilken teknik ni lärt er.

Ah okej, tänkte inte på att den byter tecken. Men är metoden jag använt helt felaktig? Dem visar att om man delar en integral i två delar, och ena delen divergerar så divergerar hela integralen. Får man inte beräkna integralen direkt eller är det ett krav och dela upp? Jag frågar då jag hade den här tentan för ett par dagar sen och använde mig just av min metod dvs en integral över hela kvandranten. Då drog jag slutsatsen att integralen divergerar. Vet inte om examinatorn ger avdrag för det.

Ja, om du använt en sats om konvergens som bygger på att integranden är positiv på en integrand som växlar tecken bör du få avdrag för att inte ha kontrollerat att rätt förutsättningar föreligger. Dessutom har du kanske nått fel slutsats.

Skulle dock inte ge fullt avdrag, det beror ju lite på hur du formulerat och motiverat dig.

Ja, detta låter intressant. Vad är detta för något? Alltså att om integranden byter tecken över intervallet måste extra hänsyn tas? Jag har aldrig sett det. Gäller det vid omformulering som upprepad integral för dubbelintegraler?

Edit: Det var inget, jag hittade. Det är visst ett grundantagande för att itererad integration ska vara konsistent. Tänk vad man glömmer.

Det gäller alltså generaliserade integraler där integranden växlar tecken i integrationsområdet.

För att inte göra analysen orimligt svår brukar man i grundkursen utvidga satsen om itererad integration till att gälla även för generaliserade integraler med positiv integrand. Dvs om den inre enkelintegralen är konvergent (map y) för varje fixt värde på x så är dubbelintegralen konvergent om och endast om den yttre enkelintegralen med avseende på x är konvergent.

Det går att visa att det gäller även om den inre integralen skulle råka vara divergent i enstaka punkter, men det kräver distributioner och ett utökat integralbegrepp eller ganska krystade bevis. Se t.ex. Rudin eller Apostol.

Arian02 skrev:
D4NIEL skrev:
Nja, det som ställer till det lite i uppgiften är att integranden byter tecken mitt i intervallet. Då måste man dela upp den i två delar och byta tecken för att få använda det "vanliga" sättet att räkna. Hur du ska göra i praktiken beror lite på vilken teknik ni lärt er.

Ah okej, tänkte inte på att den byter tecken. Men är metoden jag använt helt felaktig? Dem visar att om man delar en integral i två delar, och ena delen divergerar så divergerar hela integralen. Får man inte beräkna integralen direkt eller är det ett krav och dela upp? Jag frågar då jag hade den här tentan för ett par dagar sen och använde mig just av min metod dvs en integral över hela kvandranten. Då drog jag slutsatsen att integralen divergerar. Vet inte om examinatorn ger avdrag för det.

Det här problemet handlar om en dubbelintegral av integranden $f (x, y)$ över ett tvådimensionellt område $D$ . I de flesta fall delar man bara upp en dubbelintegral i en så kallad itererad integral där med integrerar över de två dimensionerna en i taget. Men detta är INTE alltid tillåtet.

Fubinis teorem slår fast att det är tillåtet om integralen av absolutbeloppet av integranden är finit. Men att integrera ett absolutbelopp är svårt. Därför kan man istället dela upp området i olika delar där integranden är antingen enbart positiv eller enbart negativ.
D.v.s $f (x, y) > 0 \forall (x, y) \in D_{1} = \{(x, y) : x > y > 0\}$ och $f (x, y) < 0 \forall (x, y) \in D_{2} = \{(x, y) : y > x > 0\}$
Därmed följer att:
$\iint_{D} |f| = \iint_{D_{1}} (f) + \iint_{D_{2}} (- f)$

Enligt Tonellis teorem kan en dubbelintegral där integranden inte byter tecken delas upp i en itererad integral. Därav lösningen i facit. Eftersom båda de två delintegralerna går mot positiv oändlighet är dubbelintegralen av funktionens absolutbelopp inte finit. Det innebär att en itererad integral av funktionen kan komma att få olika värden beroende på hur man delar upp dubbelintegralen (exempel). Dubbelintegralen konvergerar alltså inte.

Svara

Visa senaste svar