Konvergens/divergens

Hej! Jag har en uppgift som är lite lurig. Man ska avgöra om integralen konvergerar eller divergerar.

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{6} + 9}} d x$ Jag tänker att den borde vara divergent.

Jag studerar integranden: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{6} + 9}} = \frac{1}{x} * \frac{1}{\sqrt[4]{1 + \frac{9}{x^{6}}}}$ . Här blir det lite lurigt. Jag tänker sedan innan att den borde vara divergent, varför jag skulle vilja visa att integranden är större än någonting jag vet divergerar. Jag gör därför antagandet att $\frac{1}{\sqrt[4]{1 + \frac{9}{x^{6}}}} > 1 t y \frac{1}{\sqrt[4]{1 + \frac{9}{x^{6}}}} \overset{x \overset{}{\to \infty}}{\to} 1$ , dvs att faktorn, på sin väg mot 1, är större än ett. Om detta stämmer så har vi visat att $\frac{1}{x} * \frac{1}{\sqrt[4]{1 + \frac{9}{x^{6}}}} \geq \frac{1}{x}$ där integralen av högerledet divergerar. Men: Hur vet jag att $\frac{1}{\sqrt[4]{1 + \frac{9}{x^{6}}}} \geq 1$ och inte tvärtom, $\frac{1}{\sqrt[4]{1 + \frac{9}{x^{6}}}} \leq 1$ ? För om det senare gäller så fungerar ju inte min uppskattning. Detta kanske är trivialt, men jag vet inte. Därför frågar jag. Tacksam för svar!

Mvh

Antagandet är inte sant. x är ju positivt, så x^6 är positivt, 9/x^6 är positivt, och alltså är uttrycket under rottecknet större än 1, och därmed också hela nämnaren. Alltså är uttrycket mindre än 1.

Däremot så har du helt rätt i att det går mot 1, vilket är det viktiga. Då är det ju t.ex. större än 1/2 (för tillräckligt stora x), och 1/(2x) divergerar ju också.

Hej!

Eftersom $x^6+9 > x^6$ så följer det att

$\frac{x^{1/2}}{(x^6+9)^{1/4}} < x^{1/2-6/4} = \frac{1}{x}$ , när $x > 1$

vilket visar att

$\int_{1}^\infty \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{9+x^6}}\,\text{d}x \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,\text{d}x$ ,

men detta hjälper inte till att avgöra frågan om konvergens; uppskattningen $x^6+9 > x^6$ är alltför grov.

Albiki

Hej! Tack för svar. Jag lyckades fixa denna uppgift nu.

Jag har dock en annan fråga på en annan uppgift.

Om jag ska avgöra om följande integral konvergerar/divergerar så skriver jag först om den på följande sätt (generaliserad i två delar) $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x = \int_{2 + ε}^{c} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x + \int_{c}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x$ .

Jag kollar först $\int_{c}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x$ och ser att $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} = \frac{1}{x^{2}} * \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}$ där sista faktorn i termen går mot ett då x går mot oändligheten, vilket medför att vi kan anta att $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} = \frac{1}{x^{2}} * \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}} \leq \frac{1}{2 x^{2}}$ där integralen av högerledet konvergerar. Det återstår då att studera $\int_{2 + ε}^{c} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x$ , jag tänker att det i intervallet (2,C) gäller att $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} \leq \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ (Här behöver jag hjälp, det måste gå att göra någon bättre uppskattning?), jag känner igen högerledet i olikheten som en standardintegral och beräknar $\int_{2 + ε}^{c} \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x = {[\ln |x + \sqrt{x^{2} - 4}|]}_{2 + ε}^{c} = (e f t e r i n s ä t t n i n g) . . . \overset{ε \overset{}{\to} 0}{\to} e t t t a l, d v s k o n v e r g e n t$

Är detta hur man löser denna uppgift? Jag blir så osäker när det gäller dessa uppskattningar. Hur hade ni löst den?

Hej!

På intervallet (c,oo) är integralen uppåt begränsad av integralen

Error converting from LaTeX to MathML; här väljer jag ett Error converting from LaTeX to MathMLx-2$$ alltid är större än 1.

Denna integral är i sin tur uppåt begränsad av den konvergenta integralen

$\int_{1}^\infty t^{-1.5}\,dt$ .

Efter detta gäller det att studera den ursprungliga integranden på intervallet $(2+u, c)$ , där $0<u<1.$ På detta intervall är $u < x-2 < c-2$ och notera att $c-2 >1$ . Om man till exempel väljer $u=0.25$ och $c=5$ så är $0.5 < \frac{1}{\sqrt{x-2}} < 2$ .

Albiki

Svara

Visa senaste svar