Konvergens, beräkna summa

Hej! Jag har en uppgift jag försökt att lösa, men jag vet inte hur jag ska tackla problemet. En ledning i problemtexten är att använda partialbråk, vilket jag gör, men sedan kör jag fast. Serien konvergerar och summan ska bli 1/2.

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k^{2} + 5 k + 6}$ "Undersök om serien konvergerar, och beräkna i så fall dess summa."

Jag räknar på enligt följande:

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k^{2} + 5 k + 6} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{2 (k + 1)} - \frac{1}{2 (k + 3)} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} (\frac{1}{2 (k + 1)} - \frac{1}{2 (k + 3)}) = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} (\frac{1}{(k + 1)} - \frac{1}{(k + 3)})$

Här vet jag inte hur jag ska fortsätta. Vi ser nu klart och tydligt att summans termer har ett gränsvärde om k --> "oändligheten" och att detta gränsvärde är noll, vilket borde tyda på ev. konvergens. Men i oändligheten borde ju det sistnämnda uttrycket bli $\frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} (\frac{1}{(k + 1)} - \frac{1}{(k + 3)}) = \frac{1}{2} * 0$

Men det är ju såklart fel...

Mycket tacksam för hjälp!

Mvh

Vill du dela upp $\frac{1}{k^{2} + 5 k + 6}$ i partiella bråk blir det $\frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3}$ .

Dessutom är inte summan i sista steget noll. Hjälper detta dig?

Det är precis så jag gjort. Partialbråket är korrekt. Men du säger, summan blir inte noll. Det är det jag inte fattar. Varför blir den inte noll?

Differensen går mot noll, men är alltid positiv, så summan kommer vara positiv och öka lite för varje term. Alltså är den inte noll.

Ditt partialbråk är inte riktigt samma som Mindstormers heller, hen har k+2 i första termens nämnare och du har k+3

Oj. Jag hade skrivit fel i inlägget. Sorry!

Jag fattar ändå inte riktigt. Så här har jag tänkt:

$\frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} (\frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3}) S u m m a n S_{n} f ö r d e n f ö r s t a t e r m e r n a : S_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = = \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} \underset{}{\to} \frac{1}{2} o m n \underset{}{\to} \infty D v s S e r i e n s s u m m a m å s t e v ä l l b l i : \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} (\frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3}) = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Varför blir detta fel?

$\frac{1}{k^{2} + 5 k + 6} = \frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3}$

Inget mer. Inget 1/2 att bryta ut.

Ja det är ju klart. Tack så mycket!

Men i övrigt, om man bortser från mina felberäkningar i ovan inlägg, så är min lösning korrekt?

Är det korrekt att säga att serien har en summa, som är 1/2, eftersom termen i summan som uppkommer efter omskrivning dvs 1/(n+1) har ett gränsvärde då n går mot oändligheten som är noll? Detta betyder ju att serien konvergerar, eller?

Det är just det som konvergens betyder, ja. Bra tänkt!

Svara

Visa senaste svar