Konvergens av fourieserie

Var divergerar dina tankar frn facit?

f (-1) vänsterifrån går mot 6

f(-) högerifrån går mot -4

medelvärde 1.

sorry för lite slarvig teckning.

Hur vet man att funktionen är periodisk?

Sorry, det står faktiskt inte så felaktigt antagande från mig. Tack! Men ändå, var i lösningen börjar dina frågetecken?

Fast å andra sidan skriver de f(-1 -) och f(-1 +) . Hur kan den ha ett värde om inte periodisk?

Funktionen $f(x)$ är bara definierad på intervallet $(-1,1)$. Den är varken periodisk eller jämn/ojämn.

Däremot har någon redan tagit fram en Fourierserie som ska ges av uttrycket

$\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left[ a_n\cos(\frac{n\pi x}{l})+ b_n\sin(\frac{n\pi x}{l})\right]$

Fast med $l=1$. Vi inser att det är det exakta uttrycket för Fouriersumman av en $2$-periodisk funktion. Man skulle alltså kunna tänka sig en periodisk utökning över hela $\mathbb{R}$. Vi döper den utökade funktionen till $g(\theta)$ och noterar att $g(\theta)=f(\theta)$ på intervallet där $f(x)$ är definierad.

I b) uppgiften frågar man INTE efter funktionens $f$ värde i punkten $-1$ (den är inte ens definierad där), man frågar efter Fourierseriens värde. Och under kursen bör man ha lärt sig att summan konvergerar till (konvergenssatsen)

$\displaystyle \lim_{N\to \infty}S_N^g\left(\theta\right)=\frac12\left[g\left(\theta_-\right)+g\left(\theta_+\right)\right]$

Alltså får vi värdet

$\displaystyle \lim_{N\to \infty}S_N^g\left(-1\right)=\frac12\left[-4+6\right]=1$

I praktiska räkningar skiljer man sällan mellan $f$ och dess utökning $g$. Tvärtom kallas båda ofta lite slarvigt $f$. Men det kan vara pedagogiskt värdefullt att skilja dem åt för att sätta lite extra fokus på när utökningen äger rum och vad den innebär.