Konvergens av diskontinuerlig fourierserie

Jag har lärt mig att en fourierserier konvergerar mot medelvärdet av vänster- och högergränsvärden om f(x) är diskontinuerlig i en punkt, annars konvergerar den mot f(x). 

T.ex. för $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1, -\pi \le x<0\\ -1, 0<x\le \pi \end{array}\right.$så gäller det att fourierserien i punkten x = 0 konvergerar mot 0 eftersom (vänstergränsvärde + högergränsvärde)/2 = (1 + (-2))/2 = 0

Min fråga är bara: Gäller samma även ifall man har definierat f(0) som något annat? 

T.ex. låt $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1, x\ne 0\\ 0, x=0\end{array}\right.$i intervallet [-pi, pi]. Alltså är funktionen ej kontinuerlig i x=0, men ändå definierad i 0. Stämmer det då att fourierserien konvergerar mot 1 eftersom (1+1)/2 = 1 trots att funktionen är definierad i x=0?

Eller blir det mittpunkten mellan 1 och 0, dvs 0,5?

Vill mest få denna detaljen förtydligad.