Konvergens av alternerande serie
Hej!
Jag behöver hjälp att första/lösa följande problem.
Jag vill visa att serien nedan konvergerar betingat.
(jag hoppas bilden inte blev allt för stor hehe). Leibniz’ går inte att tillämpa, eftersom att beloppet av termerna inte bildar en avtagande talföljd. I boken är ledningen att bilda delsummorna s_2n, att de kan förenklas genom att man slår ihop termerna två och två. Vidare säger de att man ska visa att gränsvärdet av s_2n då n går mot oändligheten existerar och att samma gäller för s_(2n+1).
Jag förstår dels inte hur jag kan bilda och studera s_2n överhuvudtaget, dels förstår jag inte varför de har skrivit delsumma i plural, är det en fråga om flera summor? Och sen förstår jag inte varför det är nödvändigt att visa att gränsvärdet av s_(2n+1) då n går mot oändligheten existerar. Det kvittar ju om n går mot oändligheten?
Det är många frågetecken, så skulle vara väldigt tacksam för svar :).
Om du bildar summan av termen för k = 2n och termen för k = (2n+1) får du?
Jag fick 1/[(2n+1)2n] = s2n , säg
Vad kan sägas om serien s2+s4+s6+… ?
Är vi klara?
Jag är tacksam för dina ledtrådar för det hjälpte mig i alla fall att förstå problemformuleringen, varför man söker just s_2n respektive s_(2n+1), det handlar om udda och jämna tal.
Men jag förstår inte riktigt hur jag ska gå tillväga för att bestämma summan s_2n t.ex. Hur gör du? Hur bestämmer man en partialsumma för en alternerande serie om den inte är geometrisk eller teleskoperande?
Tack igen för ditt svar :)
Men hur fick du fram s_2n?
k = 2n ger (–1) / (2n+1)
k = 2n+1 ger (+1) / (2n)
Summan s2n = 1 /[(2n+1)2n]
s2+s4+s6+… konvergerar eftersom den är mindre än summa(1/n2)
Men detta räcker inte för att visa att serien är konvergent. Jämför
1–1+1–1+1–1+… som är divergent fastän
(1–1)+(1–1)+(1–1)+… = 0+0+0+… är konvergent
Om vi gör en omstart: Det givna serien är
–1/3+1/2–1/5+1/4–1/7+1/6–…
Att den inte är absolutkonvergent framgår vid jämförelse med den harmoniska serien.
Det är alltid vanskligt att ändra ordningsföljd i en alternerande serie men intuitivt tycker man att
1/2–1/3+1/4–1/5+1/6–1/7+…
borde krypa mot samma summa som den givna serien. Och i så fall kan vi titta på maclaurin:
ln(1+x) = x – x2/2 + x3/3 – x4/4 + …
Sätter man in x = 1 får man
ln2 = 1–1/2+1/3–1/4+… som ger
1/2–1/3+1/4–… = 1 – ln2
dvs den givna serien skulle vara betingat konvergent med summa 1–ln2
Men två frågetecken kvarstår
(1) Är omordningen av temerna formellt ok?
(2) Är maclaurinutvecklingen begränsad till –1 < x < 1 ? Jag är dock ganska säker på att den gäller även x = 1.
