konvergens

Hej

jag behöver lite hjälp med att förstå hur man ska lösa denna uppgift:

Ange för vilket värde på a som den generaliserade integralen $\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x {(\ln x)}^{a}} d x$ är konvergent och bestäm värdet vid konvergensen.

Jag började med att sätta $\frac{l i m}{R \to \infty} \int_{0}^{R} \frac{1}{x {(\ln x)}^{a}} d x$ och utförde sedan variabelbytet $t = \ln x d t = \frac{1}{x} d x$

integralen ska då bli $\frac{l i m}{R \to \infty} \int_{1}^{\ln R} \frac{1}{t^{a}} d t$

och vi får d 3 fall, då a>1, a=1, a<1

för a>1 får vi $\frac{l i m}{R \to \infty} \int_{1}^{\ln R} t^{- a} d t = \frac{l i m}{R \to \infty} {[\frac{t^{- a + 1}}{- a + 1}]}^{\ln R}_{1}$

När man sedan räknar ihop ska vi då få $\frac{l i m}{R \to \infty} \frac{1}{a - 1} (1 - \frac{1}{{(\ln (R))}^{a - 1}}) = \frac{1}{a - 1}$

Jag förstår inte riktigt hur dom gör det sista steget.

Hej!

Den undre integrationsgränsen ska vara $e$ och inte noll.

Sedan är integralen

$\int_{1}^{\ln n} t^{-a}\,\text{d}t = \frac{1}{1-a}\cdot ((\ln n)^{1-a}-1)$ när $a \neq 1\ ;$

när $a = 1$ blir integralen lika med $\ln \ln n.$

Du ser att den generaliserade integralen är konvergent (lika med $1/(a-1)$ ) precis då $1-a$ är strikt mindre än noll.

Albiki

jag förstår ändå inte tyvärr, var får vi $\frac{1}{1 - a}$ ifrån? och varför blir det inte $\ln n^{- a} - 1^{- a}$ efter att vi integrerat

$\int t^{-a}\,dt = \frac{t^{-a+1}}{-a+1}$

Svara

Visa senaste svar