konvergens

Ja! vi kan skriva $\frac{2n^2+5n+1}{7n^2+4n+3}=\frac{{{\displaystyle n}}^2(2+{\displaystyle \frac{5}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}})}{n^2(7+{\displaystyle \frac{4}{n}}+{\displaystyle \frac{3}{n^2}})}=\frac{2+{\displaystyle \frac{5}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}{7+{\displaystyle \frac{4}{n}}+{\displaystyle \frac{3}{n^2}}} och när n\to \infty \frac{2}{7}$,

för att en kvot $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}, g\left(x\right)\ne 0$ ska divergera, så måste $f\left(x\right)$ ha ett större gradtal än $g\left(x\right)$ t.ex$\frac{x^2}{x+1}$

Hej!

Det gäller att visa att det går att få avstånden $|a_n-\frac{2}{7}|$ hur nära 0 som helst om man bara ser till att välja index $n$ tillräckligt stort. Det räcker inte att vifta med händerna och säga att täljaren närmar sig 2 och nämnaren närmar sig 7 när $n$ närmar sig oändligheten; för att göra detta måste man isåfall hänvisa till ett resultat som säger att om $b_n \to b$ och $c_n \to c$ när $n \to \infty$ så följer det att $b_n/c_n \to b/c$ när $n \to \infty$.

de exemplen jag har sett innan har man fått att $\left|a_n-0\right|$ ska konvergera mot noll så i detta fall för att konvergera mot noll ska vi alltså välja något värde på n sådant att $\left|a_n-\frac{2}{7}\right|$ går mot noll och då måste ju $a_n$ gå mot 2/7 så vi får $\left|\frac{2}{7}-\frac{2}{7}\right|$ 

Du skall visa att $|a_n-\frac{2}{7}|$ går mot 0 när n går mot $\infty$.

ska man då börja med att ställa upp det som $\left|a_n-\frac{2}{7}\right|<\epsilon$  men från uppgiften hade vi ju från början att $a_n=\frac{2n^2+5n+1}{7n^2+4n+3}$ så ska vi då ha $\left|\frac{2n^2+5n+1}{7n^2+4n+3}-\frac{2}{7}\right|<\epsilon$ men jag förstår inte hur man ska ta sig vidare därifrån.

Använd omskrivningen som Ryszard gav dig i det första svaret i den här tråden. Då kan du få fram ett förenklat uttryck för $|a_n-\frac{2}{7}|$. Det borde inte vara alltför svårt att bevisa att detta uttryck går mot 0 när n går mot oändligheten.

Okej så då får vi $\left|\frac{2+{\displaystyle \frac{5}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}{7+{\displaystyle \frac{4}{n}}+{\displaystyle \frac{3}{n^2}}}-\frac{2}{7}\right|<\epsilon$

Mitt problem är att jag förstår att vi går mot noll genom att låta n gå mot oändlighet men inte hur man rent praktiskt bevisar det.

Skriv differensen på gemensamt bråkstreck och visa att täljaren kan begränsas uppåt av $49/n$ och att nämnaren kan begränsas neråt av $49$ för att få att differensen är uppåt begränsad av $1/n$.