16 svar
220 visningar
Enbjörn 18
Postad: 7 dec 2023 20:09

Konvergens

(a) Visa att serien  är konvergent genom att beräkna dess summa: n=11n- 1n+1

 

(b) Undersök konvergensen av serien n=11n2+n+ln(n)

 


(c) Unders ̈ok konvergensen av serien n=1nn2n·n!

 

Ledning: du kan behöva det standarta gränsvärdet  lim (1+1n)n=e

 

på uppgift a sätter jag in värden och får fram att det blir 11-12+12-13+13-14+...+1n-1n-1

detta blir sedan  lim n 1-1n-1

och detta blir ju 1. 

jag tror detta kallas för teleskopsumma

Men jag vet inte om detta är ett bevis för att serien är konvergent.

Marilyn 3387
Postad: 7 dec 2023 21:02

Jag tycker det ser övertygande ut, välj godtyckligt litet tal h, du kan alltid välja k så att summan ligger mellan 1–h och 1+h för alla n > k.

Välj t ex k så att 2/sqrt(k) < h dvs sqrt(k) > 1/h som ger k > 1/h2, så ligger du under med marginal.

(Men du får avdrag för att det inte är parentes runt de två termerna i summan.)

Enbjörn 18
Postad: 8 dec 2023 14:31

Tack så mycket för svar! Jag är nu på uppgift b. Jag tänker att jag förlänger med konjugatet av nämnaren  då får jag n2+n-ln nn2+n-ln2ndetta förkortar jag med n och får: 1+n1-ln nnn+1-ln2nndett går mot oändlighet och då använder jag L'Hospitals regel för ln n/n  där jag tar derivatan vilket blir 1/n/1

detta blir 0 när n går mot oändlighet. vad gäller ln2nnblir derivatan 2 ln n/1 vilket blir oändligt när n går mot oändlighet. om vi sätter in detta i formeln får vi 1+0-0+1-= 11=1

Stämmer det att serien går mot 1 om n går mot oändlighet? 

Marilyn 3387
Postad: 8 dec 2023 16:55

Jag har inte analyserat uträkningarna du gjort. L’Hôpital undviker jag, den tar bort allt nöje, som att åka vasaloppet med skoter.

Men andra raden andra uttrycket. Vi vet att (ln n)/n går mot noll (grundregel). Rotuttrycket är roten ur (n+1), så täljaren är ”typ” roten ur n.

Nämnaren; (ln n)2 /n går mot 0 så nämnaren är typ n.

Vi har alltså ett bråk som liknar (roten ur n) / n = 1/(roten ur n)

Summa (1/n0,5) divergerar så det dånar om det.

Detta är såklart inte alls stringent, men det ger en fingervisning om vad som kan förväntas. 

Marilyn 3387
Postad: 8 dec 2023 16:58

PS Nej derivatan av ln2 n  är inte 2 ln n. Du glömmer inre derivatan.

Enbjörn 18
Postad: 8 dec 2023 17:24

Ja, ursäkta mig. Jag såg att jag missade den inre derivatan nu, då blir ju ln^2n/n = 0 . Då får jag svaret till 1+1vilket ju blir 0. Jag kanske har missförstått det men jag har uppfattat det som att om man får ett entydigt värde så är det en konvergerande serie.

Enbjörn 18
Postad: 8 dec 2023 21:54 Redigerad: 8 dec 2023 21:59

vad gäller uppgift c) har jag svårt att se hur detta ska lösas. Jag har testat enligt kvotkriteriet. där jag tog

 (n+1)n+12n+1×(n+1)!nn2n×n!

detta ger

 (n+1)n+1nn×12n+2=n+1nn×(n+1)2n+2=n+1nn×12

detta blir ju e/2 när n går mot oändlighet eftersom ((n+1)/n)^n = e

dette gör att serien är konvergent. Är jag rätt ute?

Marilyn 3387
Postad: 8 dec 2023 22:37

Ja, jag får också att kvoten går mot e/2 när n går mot infinity.

Enbjörn 18
Postad: 8 dec 2023 23:31

Åh grymt! Tack! Vad gäller b) är det en konvergerande serie eller en divergerande? Jag försöker förstå mig på det här så jag uppskattar verkligen en förklaring! 

Marilyn 3387
Postad: 8 dec 2023 23:46

b) divergerar enligt mitt högst schematiska resonemang. Vi vet att summa 1/np divergerar för p ≤ 1, jag får fram att den beter sig ungefär som summa 1/n0,5 så (om jag tänkt rätt) är det ingen tvekan. Du kan ju prova jämförelsekriteriet med 1/n0,5, vet inte om det funkar.

Enbjörn 18
Postad: 9 dec 2023 13:27

Jag gick igenom inlägg 4 och såg att jag hade skrivit n/1 när det egentligen ska vara 1/n vilket gör att om n går mot oändlighet så blir svaret 1/n =1vilket är 0. Och då blir det en divergerande serie eftersom p=1? 

Marilyn 3387
Postad: 10 dec 2023 14:22
Enbjörn skrev:

Jag gick igenom inlägg 4 och såg att jag hade skrivit n/1 när det egentligen ska vara 1/n vilket gör att om n går mot oändlighet så blir svaret 1/n =1vilket är 0. Och då blir det en divergerande serie eftersom p=1? 

??

Inlägg 4 har väl jag skrivit? Vet inte vad du menar.

Enbjörn 18
Postad: 10 dec 2023 15:28

Jag menar såklart inlägg 3. Ursäkta mig.

Kallaskull 692
Postad: 10 dec 2023 17:20 Redigerad: 10 dec 2023 17:21

finns tjock många sätt göra det på ett enkelt är

nn+1+ln(n)>nn 1nn+1+ln(n)<1nn

och n=11nn< är, antar jag, känt faktum. Om ni inte gått igenom konvergens av 1np grejer kan vi köra på annan metod

EDIT: likhet skulle vara olikhet

Enbjörn 18
Postad: 10 dec 2023 17:47

ja tack så mycket! Jag tänkte bara. Hur bevisar vi att det är konvergent/divergent? Jag förstår jämförelseprincipen men hur bevisar man att 1/(n^3/2) är konvergent? 

Kallaskull 692
Postad: 10 dec 2023 23:26

Integral test är ett alternativ om ni gått igenom de 

Marilyn 3387
Postad: 10 dec 2023 23:28 Redigerad: 10 dec 2023 23:29

Jag vet inte om det är stringent, men du kan ju använda integralkriteriet.

integral 1 till oändl av 1/xp är ju konv för p > 1 och div för p ≤ 1.

OK Kallaskull hade redan svarat.

Svara
Close