Konvergens

Jag tycker det ser övertygande ut, välj godtyckligt litet tal h, du kan alltid välja k så att summan ligger mellan 1–h och 1+h för alla n > k.

Välj t ex k så att 2/sqrt(k) < h dvs sqrt(k) > 1/h som ger k > 1/h², så ligger du under med marginal.

(Men du får avdrag för att det inte är parentes runt de två termerna i summan.)

Tack så mycket för svar! Jag är nu på uppgift b. Jag tänker att jag förlänger med konjugatet av nämnaren  då får jag $\frac{\sqrt{n^2+n}-\ln n}{n^2+n-{\ln }^{2}n}$detta förkortar jag med n och får: $\frac{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{n}{1}}}-{\displaystyle \frac{\ln n}{n}}}{n+1-{\displaystyle \frac{{\ln }^{2}n}{n}}}$dett går mot oändlighet och då använder jag L'Hospitals regel för ln n/n  där jag tar derivatan vilket blir 1/n/1

detta blir 0 när n går mot oändlighet. vad gäller $\frac{{\ln }^{2}n}{n}$blir derivatan 2 ln n/1 vilket blir oändligt när n går mot oändlighet. om vi sätter in detta i formeln får vi $\frac{\sqrt{1+0}-0}{\infty +1-\infty }= \frac{1}{1}=1$

Stämmer det att serien går mot 1 om n går mot oändlighet? 

Jag har inte analyserat uträkningarna du gjort. L’Hôpital undviker jag, den tar bort allt nöje, som att åka vasaloppet med skoter.

Men andra raden andra uttrycket. Vi vet att (ln n)/n går mot noll (grundregel). Rotuttrycket är roten ur (n+1), så täljaren är ”typ” roten ur n.

Nämnaren; (ln n)² /n går mot 0 så nämnaren är typ n.

Vi har alltså ett bråk som liknar (roten ur n) / n = 1/(roten ur n)

Summa (1/n^0,5) divergerar så det dånar om det.

Detta är såklart inte alls stringent, men det ger en fingervisning om vad som kan förväntas. 

PS Nej derivatan av ln² n  är inte 2 ln n. Du glömmer inre derivatan.

Ja, ursäkta mig. Jag såg att jag missade den inre derivatan nu, då blir ju ln^2n/n = 0 . Då får jag svaret till $\frac{1}{\infty +1}$vilket ju blir 0. Jag kanske har missförstått det men jag har uppfattat det som att om man får ett entydigt värde så är det en konvergerande serie.

vad gäller uppgift c) har jag svårt att se hur detta ska lösas. Jag har testat enligt kvotkriteriet. där jag tog

$\frac{{\displaystyle \frac{{(n+1)}^{n+1}}{2^{n+1}\times (n+1)!}}}{{\displaystyle \frac{n^n}{2^n\times n!}}}$

detta ger

 $\frac{{(n+1)}^{n+1}}{n^n}\times \frac{1}{2n+2}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n\times \frac{(n+1)}{2n+2}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n\times \frac{1}{2}$

detta blir ju e/2 när n går mot oändlighet eftersom ((n+1)/n)^n = e

dette gör att serien är konvergent. Är jag rätt ute?

Ja, jag får också att kvoten går mot e/2 när n går mot infinity.

Åh grymt! Tack! Vad gäller b) är det en konvergerande serie eller en divergerande? Jag försöker förstå mig på det här så jag uppskattar verkligen en förklaring! 

b) divergerar enligt mitt högst schematiska resonemang. Vi vet att summa 1/n^p divergerar för p ≤ 1, jag får fram att den beter sig ungefär som summa 1/n^0,5 så (om jag tänkt rätt) är det ingen tvekan. Du kan ju prova jämförelsekriteriet med 1/n^0,5, vet inte om det funkar.

Jag gick igenom inlägg 4 och såg att jag hade skrivit n/1 när det egentligen ska vara 1/n vilket gör att om n går mot oändlighet så blir svaret 1/n =$\frac{1}{\infty }$vilket är 0. Och då blir det en divergerande serie eftersom p=1? 

Enbjörn skrev:

Jag gick igenom inlägg 4 och såg att jag hade skrivit n/1 när det egentligen ska vara 1/n vilket gör att om n går mot oändlighet så blir svaret 1/n =$\frac{1}{\infty }$vilket är 0. Och då blir det en divergerande serie eftersom p=1? 

??

Inlägg 4 har väl jag skrivit? Vet inte vad du menar.

Jag menar såklart inlägg 3. Ursäkta mig.

finns tjock många sätt göra det på ett enkelt är

$n\sqrt{n+1}+\ln \left(n\right)>n\sqrt{n} \iff \frac{1}{n\sqrt{n+1}+\ln \left(n\right)}<\frac{1}{n\sqrt{n}}$

och $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\sqrt{n}}<\infty$ är, antar jag, känt faktum. Om ni inte gått igenom konvergens av $\sum _{}\frac{1}{n^p}$ grejer kan vi köra på annan metod

EDIT: likhet skulle vara olikhet

ja tack så mycket! Jag tänkte bara. Hur bevisar vi att det är konvergent/divergent? Jag förstår jämförelseprincipen men hur bevisar man att 1/(n^3/2) är konvergent? 

Integral test är ett alternativ om ni gått igenom de 

Jag vet inte om det är stringent, men du kan ju använda integralkriteriet.

integral 1 till oändl av 1/x^p är ju konv för p > 1 och div för p ≤ 1.

OK Kallaskull hade redan svarat.