konvergens

$$\begin{gathered} {\int }_0^1\frac{y}{1+x^2}dy=\frac{1}{1+x^2}{\int }_0^{1}ydy=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 1+x^2}}(\frac{y^2}{2}{{)}_0}^1=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 1+x^2}}(\frac{1}{2}-0)= \\ =\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2(1+x^2)}} \end{gathered}$$

okej och sedan får vi att primitiva funktionen till $\frac{1}{2\left(1+x^2\right)}$är $\frac{1}{2}arc\tan x+c$

men jag är tyvärr inte helt med på konvergens, enligt facit så är svaret att den konvergerar men jag vet inte riktigt hur man bevisar att det är sant.

ska man alltså dela upp det i $\frac{1}{2}\times \frac{1}{1+x^2}$

då får vi att den primitiva funktionen till $\frac{1}{1+x^2}=arc\tan x$ men ska man inte ta den primitiva funktionen av 1/2 också?

kan vi säga att $\frac{1}{2}arc\tan x$ är konvergent eftersom den kommer gå mot ett ändligt tal, i detta fall har vi att arctan kan anta värden -pi/2 och pi/2, och i detta fall blir det väl -pi/4 och pi/4? 

Din mängd S innebär underförstått att du har att $- \infty < x < \infty$

Så du ska beräkna den generaliserade integralen, med dessa gränser. 

jag förstår inte riktigt, ska man alltså ha ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_0^1\frac{y}{1+x^2}dxdy$ ?

jag löste det som ${\iint }_S\frac{y}{1+x^2}dxdy = \int {\int }_0^1\frac{y}{1+x^2}dydx=\int \frac{1}{2\left(1+x^2\right)}dx=\frac{1}{2}arc\tan x+C$

och att den konvergerar, men jag vet inte om det är rätt sätt eller vad som händer med integralen med x eftersom vi börjar med en dubbelintegral men har bara den ena kvar

En bestämd integral (definite integral) antar endast värden, och blir aldrig en funktion. 

Du blandar ihop det med att beräkna en primitiv funktion. Å du blandar både och i en och samma uträkning. 

När man beräknar en primitiv funktion är frågan om konvergens inte definierad. 

Du ska beräkna integralen över S, vilket du kan göra genom iteration. Och då får du integrationsgränserna för x enligt mitt inlägg ovan. 

Du kan använda primitiven, och stoppa in integrationsgränserna

jag förstår faktiskt inte hur man ska göra, sättet jag gjorde är alltså fel?

ska jag stoppa in gränserna för x i (1/2)arctanx?

$\iint_S \frac{y}{1+x^2} dxdy = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx \cdot \int_0^1 y dy =$

$= [\arctan x]_{-\infty}^{\infty} \cdot [\frac{y^2}{2}]_0^1 = (\pi /2 - (- \pi /2)) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$

Ja, den konvergerar, och den konvergerar mot $\pi /2$.

okej, men det jag inte förstår riktigt från börjar är hur man vet att x går från oändlighet till minus oändlighet. det är första gången jag ser integrationsgränserna skrivna på det sättet.

Man kan läsa $S = \{ (x,y)| 0<y<1 \}$ som 

"S består av alla punkter i xy-planet, sådana att y ligger mellan 0 och 1".