19 svar

127 visningar

Päivi behöver inte mer hjälp

Kontroll av lösningar av en fjärdegrads ekvation påpeka visning (kommentera)

Vill veta, om jag gör rätt med kontrollen $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0 l ö s n i n g a r n a t i l l d e s s a ä r x_{1} = 2 x_{2} = - 2 N u s ö k e r j a g k o p l e x a l ö s n i n g a r t i l l d e s s a s e m i n a k o n t r o l l - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - t e s t a r b å d e (\sqrt{2 i}, - \sqrt{2 i}) - - - - - - - - - - - - - - - - k o n t r o l l : x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0 e f t e r s o m i^{2} = - 1 t e s t (\sqrt{2 i} ((\sqrt{2})^{4} \cdot (- 1)^{2}) - 2 \cdot (\sqrt{2})^{2} \cdot (- 1) 4 \cdot 1 = 4 2 \cdot (\sqrt{2})^{2} \cdot (- 1) 2 \cdot 2 \cdot (- 1) = - 4 n u s ä t t e r v i h o p d e t 4 - 4 - 8 = - 8 s t ä m m e r i n t e - - - - - - - k o n t r o l l : x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0 - \sqrt{2 i} - (\sqrt{2})^{4} \cdot (- 1)^{2} = 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = - 8 - (- 8) 2 \cdot (\sqrt{2})^{2} \cdot (- 1) = 2 \cdot 2 \cdot (- 1) = - 4 n u s ä t t e r v i i h o p d e t t a - (- 8) - 4 - 8 = 8 - 4 - 8 = - 4 s t ä m m e r i n t e \cdot ä r d e t t a r i k t i g t ? S k a k o n t r o l l e r a t v å a n d r a m ö j l i g h e t e r$

$x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ Jag sätter a=x^2 och får
$a^{2} - 2 a - 8 = 0$ vilket ger a=-2 och a=4 (säg till om du inte får fram dessa)

Nu tillbaka till x och vi använder $x = \pm \sqrt{a}$ och vi får:
$x = \pm \sqrt{- 2} = \pm i \sqrt{2}$ och
$x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$

Så, kontroll. Jag räknar med att du kan kontrollera 2 och -2 så jag tar bara de andra:
${(i \sqrt{2})}^{4} - 2 (i \sqrt{2})^{2} - 8 = i^{4} \cdot 2^{2} - 2 \cdot i^{2} \cdot 2 - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$ Stämmer, testa den sista själv.

Hej Päivi, du slarvar lite med ett minustecken på den andra termen.

För roten $x=i\sqrt2$ gäller

$(i\sqrt2)^4-2(i\sqrt2)^2-8=\underbrace{(i)^4}_{1}\cdot\underbrace{(\sqrt2)^4}_{4}-2\cdot\underbrace{(i)^2}_{-1}\cdot\underbrace{(\sqrt2)^2 }_{2}-8=4-(-2\cdot 2)-8=4+4-8=0$

Jag får inte stämma det andra.

(-roten ur 2)^2 stämma.

Päivi skrev :
Jag får inte stämma det andra.
(-roten ur 2)^2 stämma.

Menar du för $x=-i\sqrt2$ ? Om vi tar det term för term blir det såhär:

$(-i\sqrt2)^4=(-i)^4\cdot(\sqrt2)^4=1\cdot4=4$

$-2(-i\sqrt2)^2=-2\cdot(-i)^2(\sqrt2)^2=-2\cdot(-1)\cdot 2=-2\cdot(-2)=+4$

Och sätter vi ihop det får vi 4+4-8=0

Päivi skrev :
Jag får inte stämma det andra.
(-roten ur 2)^2 stämma.

Jag förstår inte vad du menar.

Vad är "det andra" som du inte får att stämma?

Vad menar du med (-roten ur 2)^2? Vilken av de fyra lösningarna kollar du då?

Vi kan fortfarande inte läsa dina tankar, så du måste beskriva för oss vad du gör.

Skriv upp vilka de fyra olika lösningarna $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ är, skriv vilken lösning du kontrollerar och skriv vad du får för resultat av den kontrollen. Ta en lösning i taget.

$(- i \sqrt{2})^{4} - 2 (- i \sqrt{2})^{2} - 8 = - i^{4} \cdot 4 - 2 (- i^{2} \cdot - 2) - 8 = - - - - - - - - - - - - - - - i^{4} = - (- 1) \cdot - (- 1) \cdot - (- 1) \cdot - (- 1) = - 1 - i^{2} = 1 i^{2} = - 1 i^{4} = (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) = 1$

Päivi skrev :
$(- i \sqrt{2})^{4} - 2 (- i \sqrt{2})^{2} - 8 = - i^{4} \cdot 4 - 2 (- i^{2} \cdot - 2) - 8 = - - - - - - - - - - - - - - - i^{4} = - (- 1) \cdot - (- 1) \cdot - (- 1) \cdot - (- 1) = - 1 - i^{2} = 1 i^{2} = - 1 i^{4} = (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) = 1$

Du verkar fortfarande tro att i är lika med -1, trots att vi vid flera tillfällen påpekat för dig att det inte är så.

Det gäller att i^2 = -1. Alltså gäller att:

i^4 = i^2*i^2 = (-1)*(-1) = 1.
(-i)^4 = (-1*i)^4 = (-1)^4*(i)^4 = 1*1 = 1.

Hej igen Päivi,

Du måste skilja på dessa två:

$(-i)^4=1$

$-i^4=-1$

Ser du skillnaden?

Inom parentes blir det plus om exponent är jämn. Då förstår jag. Det var viktigt det här också.

Då förstår jag dig Yngve!

(-1)^4 för sig

(-i)^ 4 för sig.

De ihop blir 1 gånger 1= 1

Då får jag i fortsättnings vis låta er kontrollera om jag har kontrollerat rätt det här, enbart lösningarna av komplexa tal eftersom svaren i facit finns inte om komplexa tal, när det gäller fjärde grads ekvation. Hur är det med tredje grads ekvation. Finns det där komplexa tal?

Päivi skrev :
Då får jag i fortsättnings vis låta er kontrollera om jag har kontrollerat rätt det här, enbart lösningarna av komplexa tal eftersom svaren i facit finns inte om komplexa tal, när det gäller fjärde grads ekvation. Hur är det med tredje grads ekvation. Finns det där komplexa tal?

Ja det kan det göra.

Till exempel har ekvationen x^3 + x = 0 en reell och två komplexa lösnigar. Kan du hitta alla tre?

Ja. Tex y=x^3+1 har 2 komplexa lösningar och en reell.

$x^{3} + x = 0 - - - - - - - - x (x^{2} + 1) = 0 x = 0, x^{2} = - 1 - - - - - - - - - x = \sqrt{- 1} x = i \sqrt{- 1} t r e d j e h a r j a g i n t e r ä k n a t - - - - - - - - - - - - - - i^{3} \cdot (\sqrt{- 1})^{3} + i \cdot \sqrt{- 1} = - 1 \cdot - 1 + (- 1 \cdot n u ä r j a g f r å g e t e c k e n Y n g v e$

$x^{2} = - 1 x = \pm \sqrt{- 1} = \pm i$

x= -1

x= i

x= -i

Svaret till Yngve.

x^3 + x = 0

x(x^2+1)=0 nollproduktregeln ger att x=0 är en lösning.
De andra lösningarna får du genom x^2+1=0 dvs x^2=-1
Detta visade du själv.

Sedan gjorde du fel och jag rättade dig. För om $x^{2} = - 1$ är $x = \pm \sqrt{- 1} = \pm i$
De tre lösningarna är alltså 0, i, -i

Jag tror att jag har börjat förstå lite mer, men kan än vara osäker. Det tar lite tid, innan jag har förstått det riktigt bra. Jag låter er kontrollera om jag kontrollerar rätt. Jag måste lära mig göra rätt, sedan fungerar det.

Tack Joculator!

Svara

Visa senaste svar