Kontroll av lösning

Det ser rätt ut.

Tack Yngve!

Du bör även visa att detta värde på x ger maximal vinst och inte minimal vinst.

Hur går jag tillväga då?

Det finns några olika sätt:

1. Eftersom du har ett andragradsuttryck med en negativ koefficient framför $x^2$-termen så ser motsvarande graf (parabeln) ut som en "ledsen mun" och den har därför en maxpunkt. Läs mer om det i avsnittet "Andragradsfunktioners extrempunkter".
2. Du kan kontrollera derivatans tecken runt dess nollställe för att visa att du har en maxpunkt.
3. Du kan ta fram andraderivatan och konstatera att dess värde är negativt vid extrempunkten, vilket betyder att funktionen där har en maxpunkt.

Säg till om du även är ute efter tips på hur du kan skriva en tydlig och välmotiverad lösning som kan ge högre poäng på ett prov.

okej tack yngve! sambandet * 0  <= x  <= 4000 finns med i uppgiften. Undrar om jag ska tillämpa det någonstans?

Sen undrar jag om det är uttrycket -0,03x2+24x=2000 jag ska ta fram andraderivatan av. Och vilka extrempunkter ska jag sätta in där? 400 eller 2800?

Du ska ta hänsyn till intervallet genom att det bara är dessa värden på x som kan vara relevanta för att ge max vinst.

Du kan utnyttja det genom att kontrollera vinstfunktionens värde dels i den stationära punkten (dvs för x = 400), dels i intervallets båda ändpunkter (dvs x = 0 och x = 2000).

Dessa tre värden är de enda möjliga kandidaterna till maxvärdet.

Det blev alltså en fjärde metod att sökerställa att du hittat maxvärdet.

Vad gäller andraderivatan, har du läst avsnittet jag länkade till?

Okej jag förstår. Ja genom att ta fram andraderivatan kan man ju få maximumpunkter. Jag undrar vilken funktion det är jag ska ta andraderivatan av, är det denna?

-0,03x2+24x

Eller vilken funktion är det jag ska göra det av? Är förvirrad nu... sorry. 

Vi tar det från början så får du även lite tips på hur du kan förbättra beskrivningen av din lösning:

Kostnaden för att tillverka $x$ tallrikar är $K(x)$.

Försäljningspriset per tallrik är $p(x)$. Om företaget säljer $x$ tallrikar så blir alltså de totala inkomsterna $x\cdot p(x)$ kronor.

Vinsten vid tillverkning och försäljning av $x$ tallrikar är inkomster - utgifter, dvs $V(x) = x\cdot p(x)-K(x)$.

Eftersom  $K(x)=0,02x^2+16x+2000$

och $p(x)=40-0,01x$

så får vi att vinsten $V$ beror på antalet tillverkade och sålda tallrikar $x$ enligt

$V(x)=x\cdot (40-0,01x)-(0,02x^2+16x+2000)=$

$=40x-0,01x^2-0,02x^2-16x-2000=$

$=-0,03x^2+24x-2000$.

Det är denna funktion, dvs $V(x)$, som du ska ta fram andraderivatan av.

Ja exakt. Tack.

andra derivatan av v´´(x) blir -0,006+24.

Vad är nu nästa steg?

Och det är när jag sätter andraderivatan= 0 som jag får svaret 400. Alltså 24/0,06.

Menar du att jag ska sätta in x=400 x=0 och x= 2000 i f´´(x)= -0,06x+24?

Bjurisen97 skrev:

andra derivatan av v´´(x) blir -0,006+24.

EDIT - korrigerade skrivfel

Nej andraderivatan blir bara V''(x) = -0,06.

Förstaderivatan är ju V'(x) = -0,06x + 24 och när du deriverar det så försvinner konstanttermen 24.

Bjurisen97 skrev:

Och det är när jag sätter andraderivatan= 0 som jag får svaret 400. Alltså 24/0,06.

Nej du ska inte sätta andraderivatan lika med 0, du ska ta reda på vad andraderivatan har för tecken vid det/de x-värden där förstaderivatan är lika med 0.

Menar du att jag ska sätta in x=400 x=0 och x= 2000 i f´´(x)= -0,06x+24?

Nej, bara det/de värden på x för vilka f'(x) = 0.

Och din V''(x) är inte rätt, se ovan.

Ja såklart! Men hur går jag vidare nu, efter att jag vet 0,006 som andra derivata?

EDIT - korrigerade skrivfel

Nej den är -0,06.

Har du verkligen läst avsnittet jag länkade till?

Där står klart och tydligt hur man kan använda andraderivatans tecken för att avgöra den stationära punktens karaktär.

Var det något där du vill få ytterligare förklarat?

Okej såg ditt andra svar nu. Känner mig så trög, men första derivatan är ju -0,006x + 24. Hur tar jag reda på vad andraderivatan har för tecken vid de x värden där förstaderivatan = 0? Förtår inte. 

När förstaderivatan = 0 är ju x 4000?

EDIT - jag skrev en nolla för mycket i decimakerna tidigare.

Börja med att ta fram rätt uttryck för andraderivatan.

Funktionen är $V(x)=-0,03x^2+24x-2000$

Förstaderivatan är $V'(x)=-0,06x+24$

Vad är då andraderivatan $V''(x)$?

Andraderivatan är -0,06.

Andraderivatan är en funktion. Denna funktion ser ut så här: V''(x) = -0,06.

Det betyder att funktionen är konstant, den har ett konstant värde (som är lika med -0,06), oavsett vilket x-värdet är.

Jag är nyfiken på hur du resonerar och räknar när du "stoppar in" ett x-värde i funktionen V''(x) = -0,06 och då får ut ett annat värde än -0,06?

Ja det har du rätt i. Jag tänker fel just nu bara. 

Eftersom andraderivatan är - 0,06, är det alltså svaret att funktionen har en maximipunkt? Förlåt om jag är rörig min hjärna är så seg just nu! Tänkte fel med att sätta in x värde i funktionen då vi endast har en konstant -0,06. 

Ja det stämmer.

Okej tack så mycket för hjälpen.