7 svar

1200 visningar

Stoffer behöver inte mer hjälp

Kontinuitet vs likformig kontinuitet

Jag försöker förstå skillnaden mellan kontinuitet och likformig kontinuitet. Jag förstår kontinuitet och för att lättast få en förståelse för skillnaden mellan "vanlig" och likformig kontinuitet så försöker jag förstå det för funktioner med en variabel.

Definition för kontinuitet:

Låt $f$ vara en funktion från $ℝ$ till $ℝ$ med definitionsmängden $D$ . Vi säger att $f$ är kontinuerlig i punkten $a \in D$ om gränsvärdet av $f (x)$ då $x \to a$ existerar och är lika med $f (a)$ . Vi säger att $f$ är en kontinuerlig funktion om $f$ är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.

Så vi kan säga att

$f$ är kontinuerlig i punkten $a$ om $a$ tillhör definitionsmängden och det till varje tal $ε > 0$ finns ett tal $δ > 0$ sådant att

$\begin{array}{r} |x - a| < δ \\ x \in D \end{array}\} \Rightarrow |f (x) - f (a)| < ε$ .

Definitionen för likformig kontinuitet:

En reellvärd funktion $f$ definierad på en delmängd D av reella axeln sägs vara likformigt kontinuerlig på $D$ om det till varje tal $ε > 0$ finns ett tal $δ > 0$ sådant att

$\begin{array}{r} |x - y| < δ \\ x, y \in D \end{array}\} \Rightarrow |f (x) - f (y)| < ε$ .

Utöver detta så förklarar min litteratur att:

Om det finns ett gemensamt $δ$ som duger för alla punkter $x_{0}$ i definitionsmängden talar man om likformig kontinuitet.

Detta till skillnad från "vanlig" kontinuitet som också beror på den aktuella punkten $x_{0}$ . Så när jag försöker föreställa mig denna skillnad så tänker jag att likformig kontinuitet kräver en begränsad definitionsmängd. Stämmer det? Hur annars kan man hitta ett värde $δ$ som är större än avståndet mellan x och y om avståndet kan vara oändligt stort?

När jag kollar på Wikipedia så ges ett exempel på en likformigt kontinuerlig funktion, nämligen $f (x) = \sqrt{x}$ där x tillhör de positiva reella talen. Men denna definitionsmängd är ju inte begränsad, så uppenbarligen förstår jag inte konceptet.

Med definitionen för likformig kontinuitet betyder det inte att alla punkter $x,y \in D$ ligger närmare än $\delta$ ifrån varandra.

Den säger att $\forall \epsilon>0 \exists \delta>0$ , så att OM $|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon$ .

Det vill säga, om avståndet mellan x och y är mindre än $\delta$ , så är avståndet mellan funktionsvärdena mindre än $\epsilon$ .

Vad gäller $\sqrt{x}$ ,

$\forall \epsilon > 0$ låt $\delta = \epsilon^2$ , då gäller att om $|x-y| < \delta$

$|\sqrt x-\sqrt y|^2 \leq |\sqrt x -\sqrt y||\sqrt x+\sqrt y| = |x-y|<\delta=\epsilon^2$

$\Rightarrow |\sqrt x-\sqrt y|< \epsilon$ (vilket skulle visas).

(Snodde idén från internet).

Här visualiseras det rätt bra (jag hade inte denna förståelse förrän nu).

Ett exempel på en icke likformigt kontinuerlig funktion är $e^x$ (definierad på hela tallinjen).

Säg att $\epsilon=1$ , så att du vill hitta $\delta$ så att $|f(x)-f(y)|=|e^x-e^y|<1$ så länge $|x-y|<\delta$ . Det går inte utan att också veta var på tallinjen du befinner dig, för oavsett vilket $\delta$ du väljer så kommer $e^{x+\delta}-e^x>1$ om $x$ blir tillräckligt stort.

Hej!

En deriverbar funktion som har en begränsad derivata är likformigt kontinuerlig på sin definitionsmängd. Detta är en konsekvens av Lagranges medelvärdessats.

$|f(x)-f(y)| = |f'(z)|\cdot |x-y| \leq M \cdot |x-y|\ ,$

och du ser att om man väljer $\delta = \frac{\epsilon}{M}$ så är $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ om $|x-y| < \delta$ (och detta gäller för varje val av $x,y$ i definitionsmängden).

Funktionen $f(x) = e^{x}$ där $x \in \mathbb{R}$ är inte likformigt kontinuerlig.

Funktionen $g(x) = e^{x}$ där $x \in (0,1)$ är likformigt kontinuerlig.

Funktionen $h(x) = \ln x$ där $x \in [1,\infty)$ är likformigt kontinuerlig.

Albiki

Hej!

Funktionen $k(x) = \ln x$ där $x \in (0,1)$ är inte likformigt kontinuerlig.

Albiki

Tack så mycket för alla svar. Jag får se om jag har förstått det rätt nu. Jag uttrycker mig inte exakt, utan på ett sätt som beskriver min "intuitiva" förståelse för vad likformig kontinuitet innebär, nämligen att en likformigt kontinuerlig funktion är:

En kontinuerlig funktion som dessutom besitter egenskapen att för alla intervallsstorlekar (med längden mindre än $δ$ på den reella axeln (x-axeln)) så finns en begränsning för hur mycket kurvan y=f(x) kan förändras i y-led, nämligen mindre än $ε$ , och detta gäller oavsett värde på $ε$ och oavsett var intervallet befinner sig. Man kan också säga att för alla förändringar i y-led för kurvan y=f(x) så kommer det finnas en begränsning för hur långt i x-led kurvan måste röra sig för att uppnå denna skillnad, d.v.s. mindre än avståndet $δ$ (oavsett var vi befinner oss på kurvan).

Jag inser att denna formulering, om än korrekt, är lite klumpig, men jag vill se om jag kan uttrycka det korrekt med egna ord för att testa min förståelse. Har jag uttryckt mig rätt?

Albiki skrev :
Hej!
En deriverbar funktion som har en begränsad derivata är likformigt kontinuerlig på sin definitionsmängd.

Derivatan beskriver ju hur "snabb" förändring som görs i y-led för funktionen y=f(x) när man rör sig i x-led. Om denna "förändringshastighet" är begränsad så uppfyller det ju kravet för en likformigt kontinuerlig funktion, som jag beskrev ovan. Verkar jag tänka rätt kring detta?

Hej!

Du har inte lyckats uttrycka följande faktum.

För en kontinuerlig funktion beror valet av $\delta$ på två saker: Valet av $\epsilon$ och valet av kontinuitetspunkt ( $x_0$ ).

För en likformigt kontinuerlig funktion beror valet av $\delta$ på en sak: Valet av $\epsilon.$

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Du har inte lyckats uttrycka följande faktum.
För en kontinuerlig funktion beror valet av $\delta$ på två saker: Valet av $\epsilon$ och valet av kontinuitetspunkt ( $x_0$ ).
För en likformigt kontinuerlig funktion beror valet av $\delta$ på en sak: Valet av $\epsilon.$
Albiki

Ja, det är jag med på. Lyckades kanske inte uttrycka det så väl, men jag är i alla fall med på skillnaden nu :) Tack!

Svara

Visa senaste svar