Kontinuitet i funktioner i fler variabler

Hur ser funktion och värdemängd ut?

Du kan använda gränsvärden.

En funktion f är kontinuerlig i en punkt (a, b) (som inte är en isolerad punkt) i definitionsmängden om $\underset{\left(x, y\right)\to \left(a, b\right)}{\lim }f\left(x, y\right)=f\left(a, b\right)$. Om (a, b) är en isolerad punkt så är funktionen kontinuerlig i (a, b).

Funktionen är kontinuerlig om den är kontinuerlig i alla punkter i definitionsmängden.

Ja det är just det som är problemet, "alla punkter i definitionsmängden". Min förståelse av "punkter" i definitionsmängden, är att det finns ett oändligt antal punkter. Om man tänker att en definitionsmängd är intervallet mellan två reella tal $s$ och $t$, hur kan man veta att alla punkter i intervallet är kontinuerliga? Eller har jag missförstått något?

Vilken är funktionen?

$z=f(x,y)=exp\left(\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x-1}\right)\sqrt{1+\frac{x-y}{x+y}}$

Det är nog enklare att utnyttja kända satser för kontinuerliga funktioner. Tex

Om g och h är kontinuerliga funktioner så är g + h en kontinuerlig funktion.

Om g och h är kontinuerliga funktioner så är gh en kontinuerlig funktion.

Om g och h är kontinuerliga funktioner så är g/h en kontinuerlig funktion.

Om g och h är kontinuerliga funktioner så är g$\circ$h en kontinuerlig funktion.

${\pi }_1$: ${\mathrm{ℝ}}^2\to \mathrm{ℝ}$, (x, y) $\mapsto$ x är en kontinuerlig funktion.

${\pi }_2$: ${\mathrm{ℝ}}^2\to \mathrm{ℝ}$, (x, y) $\mapsto$ y är en kontinuerlig funktion.

Ett exempel kanske klargör hur man kan resonera.

Om vi har funktionen w(x, y) = $e^{x+y}$, som är definerad för hela ${\mathrm{ℝ}}^2$.

Vi har då att w(x, y) = $e^{{\pi }_1(x, y)+{\pi }_2(x, y)}=exp\left({\pi }_1\left(x, y\right)+{\pi }_2\left(x, y\right)\right).$

Vi kan således skriva w som en sammansatt funktion

w = $exp\circ \left({\pi }_1+{\pi }_2\right)$.

Eftersom ${\pi }_1$och ${\pi }_2$ är kontinuerliga så är även funktionen ${\pi }_1+{\pi }_2$ en kontinuerlig funktion.

Eftersom exponentialfunktionen exp är kontinuerlig (vilket jag förutsätter som känt här) så är även w kontinuerlig eftersom den är sammansättningen av två kontinuerliga funktioner, exp och ${\pi }_1+{\pi }_2$.

Eftersom exponentialfunktionen exp är kontinuerlig (vilket jag förutsätter som känt här) så är även w kontinuerlig eftersom den är sammansättningen av två kontinuerliga funktioner, exp och ${\pi }_1+{\pi }_2$.

Det är väl just den biten som ställer till det för mig. Jag har inte den blekaste aning om vad och i vilka sammanhang sådana saker är vedertagna. Det är en ny kurs. I uppgiften stod det explicit "visa att funktionen är kontinuerlig ... ", vilket jag förstod som att man ska göra det solklart för läsaren att funktionen är kontinuerlig utan att helt godtyckligt vara överens om att en elementär funktion A och en annan dito, B, är kontinuerliga, vilket medför att A + B = C också är det.

Följdfråga:

Om den kontinuerliga funktionen A är definierad på [a, c] och den kontinuerliga funktionen B är definierad på [b, d], och vi definierar sammansättningen av dessa som C. Vi antar också att a < b < c < d. Kommer definitionsmängden av C vara snittet av definitionsmängderna för A och B då, dvs [b, c]? 

Dvs C är definierad på [b, c] och kontinuerlig på det intervallet därför att A och B är det?

Har jag förstått det rätt? Är det här rätt metod att tackla problemet?

Kontinuiteten hos de elementära funktionerna är garanterat något som finns bevisat i din bok. Det finns inget godtycke i att man överens om att de är kontinuerliga utan det är något som man är överens om därför att man bevisat det.

Om f(x) är definierad på A och g(x) på B så är g(f(x)) definierad för $\{x: x\in A \wedge f(x)\in B\}$.

Du får titta lite på föreläsningsanteckningar och vad som står i kurslitteraturen för att få en känsla för vilka satser som man får använda utan separat bevis.

Om vi tar de tre första satserna som jag nämnde så är de ju dirkekta tillämpningar av motsvarande satser för gränsvärden, som jag antar att man får använda utan separat bevis.

Att sammansättningen av två kontinuerliga funktioner är kontinuerlig borde rimligen bevisas någonstans i er kurslitteratur. Annars kan du säkert hitta flera olika bevis för detta på youtube. Det är väldigt lätt att bevisa om man definierar kontinuerliga funktioner baserat på öppna mängder, men jag vet inte om det är något som ni gått igenom i kursen.

Om en (envariabel) funktion är deriverbar i a så är den kontinuerlig i a.

$\underset{x\to a}{lim}\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)=\underset{x\to a}{lim}\left(\left(x-a\right)\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}\right)=\underset{x\to a}{lim}\left(x-a\right)·\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=0·f\text{'}\left(a\right)=0$.

Du vet att $x\mapsto e^x$ är en deriverbar funktion.

Du vet även att $x\mapsto \sqrt{x}$ är deriverbar överallt (i dess definitionsmängd) utom då x = 0. Så om du kan bevisa att denna funktion är kontinuerlig då x = 0 så är du klar. Finns även bevis för detta på youtube.

Att projektionerna ${\pi }_1 och {\pi }_2$ är kontinuerliga borde du kunna visa själv utifrån definitionen av kontinuitet.

Tack för alla svar, hörrni! Att de elementära funktionerna är kontinuerliga verkar vara vedertaget i kursen, och därför inget jag behöver bevisa själv.