Kontinuitet från ovan (Continuity from above)

Hej,

Jag har lite problem med ett bevis av följande sats.

Låt $(X, M, m)$ vara ett mätbart rum (measure space):

Givet ovan har vi kontinuitet från vilket betyder:

$E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq E_{3} . . . .$ med varje $E_{i} \in M$ $\Rightarrow$

$m (\cap_{i}^{\infty} E_{i}) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n})$

Bevis (mitt försök): Givet $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq E_{3} . . . .$ så har vi också ${E^{c}}_{1} \subseteq {E^{c}}_{2} \subseteq {E^{c}}_{3} . . . .$ vilket ger att vi kan skapa de disjunkta mängderna $F_{1} = {E^{c}}_{1}, F_{2} = {E^{c}}_{2} \ {E^{c}}_{1}, . . . ., F_{n} = {E^{c}}_{n} \ {E^{c}}_{n - 1}$ . Notera nu att följande gäller:

1. ${E^{c}}_{n} = \cup_{i}^{\infty} F_{i}$

2. $\cup_{i}^{\infty} {E^{c}}_{i} = \cup_{i}^{\infty} F_{i}$

Nu antar jag att jag vill skriva om $m (\cap_{i}^{\infty} E_{i})$ på något sätt. Jag får tyvärr inte riktigt ihop det.

Tack på förhand,

Max

Har inte union och snittsymbolerna vilket gör det nästan hopplöst att skriva så jag får hänvisa till ex till Folland: Real Analysis kap 1, sats 1.8 d bevis. Satsen är standard inom måtteori. Observera förutsättningen att minst en av E_j-na måste ha begränsat mått för att påståendet om continuity from above ska gälla. Annars finns beviset alldeles säkert i de flesta framställningarna om måtteori.

Svara