Kontinuitet bevis

jag valde epsilon = 1

och det ger att

$|f (x) - f (y)| < 1 \to - 1 < f (x) - f (y) < 1 - 1 < x^{2} - y^{2} < 1 - 1 < (x - y) (x + y) < 1 e l l e r |(x - y) (x + y)| < 1 |(x - y)| * |(x + y)| < 1$

Det är här jag blir lite förvirrad av absolutbeloppen, jag försökte undersöka tecknet på multiplikationen och dra slutsatsen att i vissa fall kanske vi får något negativt och är inte delta minder än 0 samtidigt står det att absolutbeloppet är alltid mindre än delta och delta är större än 0. Jag kanske är på fel spår men kan man bevisa detta mer rigoröst?

Jag är inte säker på vad du undrar. Nu när du har valt epsilon = 1, kan du hitta ett delta så att olikheten gäller?

Laguna skrev:
Jag är inte säker på vad du undrar. Nu när du har valt epsilon = 1, kan du hitta ett delta så att olikheten gäller?

Nej jag vet inte riktigt hur jag ska gå vidare efter att ha valt epsilon = 1, dvs övergången till att hitta delta

är det så att det inte finns något för delta måste då vara negativt och vi har villkoret att delta ska vara större än 0?

Varför skulle delta vara negativ?

Laguna skrev:
Varför skulle delta vara negativ?

Jag vet inte hur jag ska hitta delta faktiskt, enda slutsatsen jag kan dra är $|(x - y) (x + y)| < 1$ och det verkar stämma oavsett vad vi har för värden på x och y men hur man övergår till att hitta delta förstår jag inte riktigt.

Jag föreslår x = 100 och y = 101.

Laguna skrev:
Jag föreslår x = 100 och y = 101.

Osäker på om jag förstod det rätt men leder inte det till att vi får att delta ska vara större än 1 och vi hade initialvillkoret delta skulle vara större än 0?

Ja, med 100 och 101 visar vi att delta > 1. Vad föreslår du för värde på delta? Enligt påståendet ska man kunna välja ett delta så att olikheten stämmer.

Laguna skrev:
Ja, med 100 och 101 visar vi att delta > 1. Vad föreslår du för värde på delta? Enligt påståendet ska man kunna välja ett delta så att olikheten stämmer.

Behövs det att föreslå ett värde för delta? Det räcker väl att hitta ett motexempel för att visa att f(x) = x^2 inte är likformigt kontinuerligt för påståendet säger att det ska gälla för varje epsilon och nu har vi hittat att det inte stämmer för varje epsilon? Eller hur kan man göra ett mer generellt bevis?

Som du säger så räcker det med ett motexempel för ett visst värde på epsilon för att visa att funktionen inte är likformigt kontinuerlig. Ditt värde 1 duger utmärkt för det.

Hur ser beviset ut? Jag är inte säker på hur du tänker,

Likformig kontinuitet är alltid kopplat till en mängd. Här har problemtexten inte angivit någon annan mängd än D_f=R. Det är precis detta vi måste utnyttja för f är faktiskt likformigt kontinuerlig på alla kompakta delmängder av R. Du har valt epsilon=1. Det är bra, och uttrycket som du skrivit: |f(x)-f(y)|=|x-y|•|x+y| är också Ok. Vi sätter det till A och låter utan logikförlust y<x. Tag Godtyckligt r>0. (har inte bokstaven delta på mitt tangentbord). Vi ska finna ett läge för x på reella axeln sådant att A>1 (= ditt epsilon) fastän |x-y|<r. Vi väljer x=1/r och y=1/2r. Då är A=|1/r-1/2r|•|1/r+1/2r|=3/2r >=1 för r<1. Vi sammanfattar: Det finns ett epsilon sådant att för alla r>0 så är A>=epsilon någonstans utefter R fastän |x-y|<r, Dvs motsatsen till likformig kontinuitet.

Ett räknefel i slutet av 6:e raden nerifrån: ska stå 3/2r². Det påverkar inte giltigheten av de följande slutsatserna.

Svara

Visa senaste svar