kontinuitet

Gäller att:

$\lim_{x \to 1} h(x) = h(1)$ ?

d.v.s. gränsvärdet är detsamma om du närmar dig från vänster och höger och överensstämmer med funktionsvärdet för $x = 1$?

Hej!

Jag tror att du har slarvat här när du definierat funktionen $h$: Definitionerna ska avse när $x = 1$ respektive då $x \neq 1$, och inte "x är nollskild" som du skrivit.

Funktionen är kontinuerlig i $x = 1$ om följande villkor är uppfyllda.

• Talet $h(1)$ är definierat
• Vänstergränsvärdet $\lim_{x\uparrow 1}h(x)$ är lika med högergränsvärdet $\lim_{x\downarrow 1}h(x)$
• Vänstergränsvärdet är lika med $h(1)\ .$

Talet $h(1)$ är definierat; det är lika med $3\ .$

Om du definierar funktionen $f(x) = 2x^2-x\ ,$ där $x$ är vilket reellt tal som helst, så är $f(1) = 1$ och du kan skriva

    $\frac{2x^2-x-1}{x-1} = \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\ .$

Denna differenskvot närmar sig derivatan $f'(1)$ när $x$ närmar sig $1$ både från höger och från vänster.  Derivatan är $f'(x) = 4x-1$ och $f'(1) = 3$ vilket visar att vänstergränsvärdet är lika med högergränsvärdet som i sin tur är lika med $h(1)$; funktionen $h$ är alltså kontinuerlig när $x = 1$ och är därmed kontinuerlig överallt i sin definitionsmängd.

Albiki