Kontinuitet

Jo, den är definierad för x = 1, men är den kontinuerlig i x = 1?

Är $\underset{x\to 1}{\lim }h\left(x\right)=h\left(1\right)$?

Detta får jag, men det säger mig ingenting. Jag vet inte ens vad h(1) blir så har inget att jämföra svaret med.

h(1) får du från definitionen av funktionen.

För att gränsvärdet skall existera så måste både högergränsvärde och vänstergränsvärde existera, och dessutom vara lika.

Om gränsvärdet inte existerar eller inte lika med h(1) så är funktionen inte kontinuerlig i x = 1.

Börja därför med att försöka beräkna höger- och vänstergränsvärde. Existerar de? Är de lika? Slutsats?

h(1) bestämmer du genom att sätta in 1 i rätt uttryck av de båda möjliga. Vad blir det?

Tänk dig att du ska närma dig 1 från vänster för 2sinx och från höger  1+x^2. Om gränsvärdena ej är lika, då är de ej kontinuerliga

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }2\sin x=2.\sin \left(1\right)\approx 1,68 \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }(1+x^2)=1+1^2=2 \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }2\sin x\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }(1+x^2) \\ 1,68\ne 2 \end{gathered}$$

Tack så jättemycket, nu förstår jag kontinuitet så mycket bättre!