Kontinuitet

Jag tror det räcker att utgå från definitionen för kontinuerlig. Kan du formulera den? 

$\underset{x\to a}{\lim } f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}f\left(a\right)\hspace{0.17em} betyder väl att funktionen är kontinuerlig i a$

Vi får nog ta definitionen för gränsvärde också. 

$$\begin{gathered} \forall \epsilon > 0 \exists \varsigma > 0 sådant att \left|f\left(x\right) - A\right| < \epsilon och 0 < \left|x-a\right| < \varsigma \\ där A\hspace{0.17em}är gränsvärdet då \end{gathered}$$

Hur blir det om du tillämpar detta på ett irrationellt tal i (0,1)? (Alltså första fallet i funktionsdefinitionen.)

 sätter man in f(x) = 0 i gränsvärde beviset och finner ett delta? är ej säker på var jag går härifrån

Vi väljer ett litet epsilon och vill att det ska finnas ett delta så att alla rationella tal inom intervallet x plus/minus delta har en nämnare som är större än 1/epsilon. Kan det vara så? 

Men vad blir det för värden i A, a och f(x) i det här fallet?

Det jag kallade x borde jag nog ha kallat a. Och så skrev jag fel förut, det är andra raden i funktionsdefinitionen som gäller irrationella tal.

Är du med på att det är det jag skrev i förra inlägget som vi vill bevisa? 

jag förstår ej hur du fick fram 1/epsilon och hur man kan hitta ett samband mellan epsilon och delta. Jag har för mig att man med definitionen för gränsvärde hittar ett delta baserat på epsilon.

Ett rationellt tal p/q i intervallet har funktionsvärdet 1/q. Om alla funktionsvärden i intervallet ska vara mindre än epsilon så måste q vara större än 1/epsilon.

Hur finner man då ett delta? Den enda informationen som anges i definitionen är $\left|x-a\right| < \varsigma$

Det finns väl ändligt många värden där funktionen går över, så halva avståndet till den närmaste av dem borde funka.

Så genom gränsvärde definitionen visar man att funktionen är definerad för [0,1] för att sedan visa att den då blir kontinuerlig? Eller vad är syftet med denna metod.

Att funktionen är def behöver du väl inte visa? Det står vilka värden den har i uppgiften, alltså finns den.

Du vill visa om den är kontinuerlig eller inte, så då använder man någon av definitionerna för kontinuerlig.

på a) går det att resonera på följande sätt.

$$\begin{gathered} \underset{x\to x_0}{\lim } f\left(x\right) =\hspace{0.17em}f\left(x_0\right)\hspace{0.17em}= 0 \\ dvs den är kontinuerlig då den är definerad för alla x\in x_{0.} \end{gathered}$$

Nej, varför blandar du in definerad? Det betyder bara att en funktion har ett värde, men det säger ingenting om hur funktionen ser ut.

Gjorde ett försök till ritning. Det orangea är funktionen, och de långa strecken är epsilon, alltså gränsen för hur långt ifrån 0 f(x) får vara. Delta är målat på tallinjen.
Ser du att de högre staplarna är längre isär? Så om du väljer ett mindre epsilon får du hitta de för stora staplarna och trycka ihop intervallet lite mer för att hålla dig borta från dem.