kontinuerlig slumpvariabel

Hej!

Väntevärdet av din kontinuerliga stokastiska variabel $X$ ges av $\mathbb{E}\left[X\right]=\int_0^r xf_X\left(x\right)dx$. Här är alltså $f_X$ täthetsfunktionen till $X$.

Hej!

Då måste det bli: $\displaystyle E[X]=\frac{2r^3}{3r^2}=\frac{2r}{3}$, där jag först deriverar fördelningsfunktionen och sedan integrerar jag på det sätt du visar :), kan det stämma?

Ja, det verkar stämma bättre. 

Ok!

På b) står det: Använd momentmetoden för att hitta en skattning r* av r och visa att skattningen
är väntevärderiktig.

Här tänkte jag att r* måste vara medelvärdet av de uppmätta avstånden, dvs, $x_1,...x_n$. Men det känns som om jag inte är rätt ute? Vad tycker du? :)

Jag har ju kunnat det här en gång i tiden, men nu var det för länge sedan för att jag ska känna mig bekväm med det. Någon annan kanske kan flika in och se till så att allt stämmer.

En snabb googling på wikipedia säger väl typ att du kan skatta parametrar genom att beräkna momenten, uttryckt i både dom okända parametrarna men även "sample moments" dvs. skatta dom genom rimliga... skattningar?

Så en rimlig skattning av väntevärdet bör vara medelvärdet i det här fallet. Vi vet att $\mathbb{E}\left[X\right]=\frac{2r}{3}$, men genom skattning av $\mathbb{E}\left[X\right]\approx \bar{x}$ så skattar vi $r$ som $r^*$ genom ekvationen $\frac{2r^*}{3}=\bar{x}$, där $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots +x_n}{n}$.

Låter det rimligt enligt dina föreläsningar kanske?

Det verkar som att detta ger en skattningsfunktion $r^*=r^*\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)=\ldots$, det du bör få från föregående post. För att visa att skattningen är väntevärdesriktig så byter du ut alla observationer mot I.I.D $X_i$ och visar att $\mathbb{E}\left[r^*\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)\right]=\mathbb{E}\left[X\right]$.

Återigen, verkar det kännas igen från dina föreläsningar kanske?

EDIT: Det ska nog stå $\mathbb{E}\left[r^*\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)\right]=r$ i sista meningen, inte $\mathbb{E}\left[r^*\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)\right]=\mathbb{E}\left[X\right]$? (vi vill ju visa att väntevärdet av skattningen ska ge parameterns värde, inte väntevärdet av den stokastiska variabeln).

Momenten är E[X^m], och för stickprovet blir det medelvärdet av x^m. När man bara har en okänd parameter betyder momentmetoden bara att man ställer upp ekvationen E[X] =medel och löser ut parametern.

Så man får inte välja skattningar, men annars håller jag med Moffen.

Micimacko skrev:

Momenten är E[X^m], och för stickprovet blir det medelvärdet av x^m. När man bara har en okänd parameter betyder momentmetoden bara att man ställer upp ekvationen E[X] =medel och löser ut parametern.

Så man får inte välja skattningar, men annars håller jag med Moffen.

Hur kommer det sig att man väljer medelvärdet av $x_i^m$? Vore det inte bättre att anpassa sig till momentet, dvs. för andra momentet (variansen) borde man istället välja $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2$?

Kanske inte förstår din fråga, men för $m=2$ är momentet $(\frac{d}{dt^2}E[e^{tX}])|_{t=0}=E[X^2]$. Variansen $\sigma^2$ är

$\sigma^2=\mathrm{Var} X=E[X^2]-(E[X])^2$

D4NIEL skrev:

Kanske inte förstår din fråga, men för $m=2$ är momentet $(\frac{d}{dt^2}E[e^{tX}])|_{t=0}=E[X^2]$. Variansen $\sigma^2$ är

$\sigma^2=\mathrm{Var} X=E[X^2]-(E[X])^2$

Oj vad slarvigt av mig, jag tänkte helt enkelt att $\mathrm{Var}\left[X\right]=\mathbb{E}\left[X^2\right]$ men det stämmer inte. (Men visst, om vi har ett bra uttryck för variansen m.a.p någon intressant parameter så kanske det ändå lämpar sig med ovanstående skattning av variansen? Men det kanske inte längre är momentmetoden då).

Ja, din skattning är en väntevärdesriktig skattning av $\sigma^2$ och brukar kallas "stickprovsvariansen"

$\displaystyle S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

Jag blir också lite förvirrad pga av fråga b), då jag vet vad det handlar om, men vet inte riktigt hur man ska gå tillväga här :)

Men det gäller alltså att $E[X]\approx \overline{x}$, där $\overline{x}$ är medelvärdet på avstånden från centrum till $n$ olika partiklar. Detta gäller endast då vi gör en skattning av $r$? Men i så fall förstår jag inte hur denna skattning är väntevärdesriktig.

Soderstrom skrev:

Jag blir också lite förvirrad pga av fråga b), då jag vet vad det handlar om, men vet inte riktigt hur man ska gå tillväga här :)

Men det gäller alltså att $E[X]\approx \overline{x}$, där $\overline{x}$ är medelvärdet på avstånden från centrum till $n$ olika partiklar. Detta gäller endast då vi gör en skattning av $r$? Men i så fall förstår jag inte hur denna skattning är väntevärdesriktig.

Av stora talens lag gäller att $\bar{x}\to \mathbb{E}\left[X\right]$ då $n\to+\infty$ (vilken typ av konvergens kanske inte är så intressant här, speciellt om man inte har läst måtteori).

Men vi vill ju skatta parametern $r$ som $r^*$, och vi har inte hur mycket data som helst så vi får nöja oss med observationerna $x_1, \ldots, x_n$. Vi säger helt enkelt att $\bar{x} = \frac{2r^*}{3}$ eftersom vi använder skattningen av $r$, vi vet inte $r$ exakt (HL är ju nästan $\mathbb{E}\left[X\right]$, men vi använder skattningen $r^*$ istället för $r$.)

Så nu löser du ut $r^*$ och då har du en skattning av $r$. Börja med det. 

Det gäller generellt att $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(x_i\right) \to \mathbb{E}\left[f\left(X\right)\right]$ där $x_i$ är observationer av $X$. Detta är väldigt viktigt inom till exempel Monte-Carlo metoder.

Ok!

$\displaystyle r*=\frac{3\overline{x}}{2}$

Soderstrom skrev:

Ok!

$\displaystyle r*=\frac{3\overline{x}}{2}$

Precis!

Nu har du en funktion $r^*=r^*\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$, eller hur? Nu vill du visa att skattningen är väntevärdesriktig, dvs. du vill visa att om du byter dina observationer mot I.I.D $X_i$ så gäller att $\mathbb{E}\left[r^*\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)\right]=r$.

Hmm, tror inte jag kommer fram till något.

Tillägg: 9 maj 2022 21:43

Eller asså om jag byter ut mina observationer så som du beskriver så får jag ju tillbaka $E[X]$, om jag har förstått det rätt!

Väntevärdet beräknas enligt

$\mathbb{E}\left[r^*\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)\right]=\mathbb{E}\left[\frac{3}{2}\cdot\frac{X_1+X_2+\ldots + X_n}{n}\right]=\frac{3}{2n}\mathbb{E}\left[X_1+X_2+\ldots +X_n\right]$. Använd att väntevärdet är linjär så att $\mathbb{E}\left[X_1+X_2+\ldots+X_n\right]=\mathbb{E}\left[X_1\right]+\mathbb{E}\left[X_2\right]+\ldots + \mathbb{E}\left[X_n\right]$. Utnyttja att vi vet att $\mathbb{E}\left[X\right]=\frac{2r}{3}$ och få

$\frac{3}{2n}\mathbb{E}\left[X_1+X_2+\ldots +X_n\right]=\frac{3}{2n}\left(\mathbb{E}\left[X_1\right]+\mathbb{E}\left[X_2\right]+\ldots + \mathbb{E}\left[X_n\right]\right)=\frac{3}{2n}\cdot \frac{2r}{3}\cdot n=r$, eftersom vi har $n$ stycken väntevärden av I.I.D $X_i$.

Alltså är skattningen $r^*=r^*\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ väntevärdesriktig.

Ok! Är med på det nu! 

Om jag ska räkna ut variansen för $r*$, blir den då: $V[r*]=\sum_k (k-E[X])^2 \cdot P_X (k)$ bara?

Soderstrom skrev:

Ok! Är med på det nu! 

Om jag ska räkna ut variansen för $r*$, blir den då: $V[r*]=\sum_k (k-E[X])^2 \cdot P_X (k)$ bara?

Nja, $X$ är ju en kontinuerlig stokastisk variabel (jag antar här att du menar $r^*=r^*\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$).

Du vet att $X_i$ är oberoende av $X_j$ för $i\neq j$, så du får helt enkelt beräkna $\mathrm{Var}\left[\frac{3}{2n}\left(X_1+X_2+\ldots + X_n\right)\right]$. Variansen för varje $X_i$ kan du enkelt beräkna som $\mathrm{Var}\left[X\right]=\mathbb{E}\left[X^2\right]-\left(\mathbb{E}\left[X\right]\right)^2$, eftersom du vet täthetsfunktionen för $X$.

Jag kom fram till detta:

$\displaystyle V(x)=\int (x-\frac{2r*}{3}) \cdot \frac{x^2}{r^2} dx$

Men känner lite loss ändå i statistik :D

Nu vet jag inte riktigt vad du ställt upp. Vi har redan beräknat $\mathbb{E}\left[X\right]$ så den behöver du inte bry dig om för tillfället. Så börja med att ställa upp $\mathbb{E}\left[X^2\right]$ och beräkna den.

OK!

Så alltså

$\displaystyle V(x)=E[X]-(E[X])^2=\int_{0}^{r} x^2 \ f_X (x) \ dx-(\frac{2r}{3})^2=...=\frac{9 r^3-20r^2}{45}$

Säkert, jag har inte dubbelkollat (men det ska vara den stokastiska variabeln $X$ som argument för $\mathrm{Var}$ och en kvadrat av $X$ i första väntevärdet).

Nu är det bara att fortsätta, och eftersom $X_i$ är oberoende av $X_j$ för $i\neq j$ så gäller att $\mathrm{Var}\left[X_1+X_2\right]=\mathrm{Var}\left[X_1\right]+\mathrm{Var}\left[X_2\right]$.

Nu har det blivit lite dimensionsfel, du kan inte få [r^3]-[r^2] i uttrycket för variansen.