Kontinuerlig funktion

Hej!

Om $x$ och $c$ är positiva tal så är

    $\frac{1}{\sqrt{2+3x}+\sqrt{2+3c}} \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\ ,$

och då kan du skriva

    $|f(x)-f(c)| \leq \frac{3}{2\sqrt{2}}\cdot |x-c| < \epsilon$

om du väljer $|x-c| < \delta(\epsilon)$ där

    $\delta(\epsilon) < \frac{2\sqrt{2}}{3}\epsilon\ .$

Hur blir det om $x$ och $c$ ligger i det öppna intervallet $(-\frac{2}{3},0)$?

Albiki

Om x och c ligger i intervallet $(-\frac{2}{3},0)$, då gäller väl

$\frac{1}{\sqrt{3x+2}+\sqrt{3c+2}}>\frac{1}{2\sqrt{2}}$?

Låt

$\delta =\frac{1}{3}({\epsilon }^2+2\epsilon \sqrt{3c+2})$

Då har du att

$$\begin{gathered} \left|x - c\right| < \delta \Rightarrow \\ 3x+2 < {\epsilon }^2+2\epsilon \sqrt{3c+2}+3c + 2 =\hspace{0.17em}(\epsilon + \sqrt{3c+2}{)}^2 \Rightarrow \\ \sqrt{3x+2}+\sqrt{3c+2}<\epsilon + 2\sqrt{3c+2} \end{gathered}$$

Så alltså gäller det att

$$\begin{gathered} \left|x-c\right|<\delta \Rightarrow \\ \left|3x+2-(3c+2)\right|<3\delta \Rightarrow \\ \left|\sqrt{3x+2}-\sqrt{3c+2}\right|\left|\sqrt{3x+2}+\sqrt{3c+2}\right|<3\delta \Rightarrow \\ \left|\sqrt{3x+2}-\sqrt{3c+2}\right|(\epsilon +2\sqrt{3c+2})<{\epsilon }^2+2\epsilon \sqrt{3c+2} \Rightarrow \\ \left|\sqrt{3x+2}-\sqrt{3c+2}\right|<\epsilon \end{gathered}$$

Med risk för något feltänk någonstans.

Tack, Stokastisk. Men hur kom du fram till vad ∂ skulle vara i början?

Tusan, jag tänkte fel ser jag. Näst sista implikationen jag skrev var nog ett önsketänkande för att slippa krånglet när c är nära -2/3. Implikationen är helt enkelt fel.

Ja egentligen, för att komma förbi problemet vid c är nära -2/3 så kan man göra såhär. Säg att vi vill visa att den är kontinuerlig på $[s, \infty)$ där $s > -2/3$. Vi har då att om

$\delta =\frac{2}{3}\sqrt{3s+2}\epsilon$

Att vi får att

$\left|x-c\right|<\delta \Rightarrow \left|\sqrt{3x+2}-\sqrt{3c+2}\right|=\left|\frac{3(x-c)}{\sqrt{3x+2}+\sqrt{3c+2}}\right|<\frac{3\delta }{2\sqrt{3s+2}}=\epsilon$

Sedan visar man att den är kontinuerlig även vid x = -2/3 så är man sedan färdig.

Okej. Hur visar jag att funktionen även är kontinuerlig i den där punkten (m.h.a. epsilon-delta metoden)?

Återigen, mycket tacksam för hjälpen, Stokastisk!

Om du ska visa att den är kontinuerlig då x = -2/3 så har du att

$3|x+2/3| =|3x + 2| ={\left(\hspace{0.17em}\sqrt{3x + 2}\right)}^2$

Notera alltså att om vi väljer $\delta ={\epsilon }^2/3$ så får man att

$$\begin{gathered} |x + 2/3| < \delta \Rightarrow \\ (\sqrt{3x+2}{)}^2<{\epsilon }^2\Rightarrow \\ \sqrt{3x + 2}<\epsilon \end{gathered}$$