kontinuerlig funktion

Hej

jag har en uppgift där jag ska bestämma en konstant för att funktionen ska vara kontinuerlig.

Bestäm konstanten a så att $\frac{l i m}{x \to 0}$ f(x) existerar, då

$f (x) = \{\begin{cases} a r c \tan \frac{1}{x}, x > 0 \\ \frac{e^{a x} - 1}{x}, x < 0 \end{cases}$

Som jag förstår det så för att funktionen ska vara kontinuerlig ska $\frac{l i m}{x \to 0} f (a r c \tan (\frac{1}{x})) = \frac{l i m}{x \to 0} f (\frac{e^{a x} - 1}{x})$

jag beräknade den första delen och fick då att $\frac{l i m}{x \to 0} f (a r c \tan (1)) = \frac{π}{4}$

för att funktionen ska vara kontinuerlig ska alltså följande stämma:

$\frac{l i m}{x \to 0} (a r c \tan 1) = \frac{π}{4} = f (\frac{e^{a x} - 1}{x}) = \frac{π}{4}$

och kvar blir då att lösa ut a sådant att $\frac{e^{a x} - 1}{x} = \frac{π}{4}$ men där är jag inte säker på hur man ska göra.

När det negativa talet $x$ närmar sig noll närmar sig $(e^{ax}-1)/x$ derivatan till funktionen $e^{ax}$ beräknad för x = 0; derivatan är ...

När det positiva talet $x$ närmar sig noll närmar sig $\arctan (1/x)$ värdet $\pi/2$ .

okej då får vi $a e^{a x}$ och med x=0 blir det $a e^{0} = a$ och då måste konstanten a=pi/2

men varför närmar vi oss derivatan av $(e^{a x} - 1) / x$ men inte derivatan av arctn(1/x)?

Det är lättare att känna igen derivatans definition för $f(x)=e^{ax}$ i uttrycket $\frac{e^{ax}-1}{x}$ när x -> 0 än att lösa ut a ur ekvationen du skrev.

Svara

Visa senaste svar