kontinuerlig funktion

Hej

jag har lite svårt med att lösa följande uppgift:

Bestäm den kontinuerliga funktionen f(x) sådan att $f (x) = 1 - 2 \int_{0}^{x} (t f (t) - t^{2}) d t$

Som ett första steg satte facit

$f^{'} (x) + 2 x f (x) = 2 x^{3} f (0) = 1$

genom derivering tillsammans med insättningen x=0

Jag förstår inte varför ska vi sätta just x=0 och sedan har jag problem med att få fram $2 x^{3}$ , ska man inte bara ersätta t med x och då borde man få $2 (x f (x) - x^{2}) = 2 x^{2} - 2 x^{3}$

Om du tittar på den ursprungliga ekvationen och sätter in x = 0 så får integralen värdet 0 vilken funktion det än skulle vara inne i den - ser du varför? Alltså vet man säkert att f(0) = 0.

Hej!

Jag tror att du har skrivit fel integralekvation. Den bör vara

$f(x) = 1-2\int_{0}^{x} tf(t)-t^3\,\text{d}t\ .$

Vid derivering av denna ekvation fås den separabla differentialekvationen av första ordningen

$f'(x) + 2xf(x) = 2x^3$

som löses genom att multiplicera ekvationen med den integrerande faktorn $e^{x^2}.$

Albiki

Svara