kontinuerlig funktion

Hej

jag behöver hjälp med att förstå hur man ska lösa följande uppgift:

Bestäm alla kontinuerliga funktioner y som uppfyller integralekvationen:

$y (x) = 1 + \int_{0}^{x} y (t) d t$

Ska man inte börja med att derivera ledvis? men då får vi ju noll framför integralen och tdt inom integralen så jag förstår inte riktigt hur man ska göra.

Ja, du kan derivera vänster- och högerled och erhålla en differentialekvation, med y(0) = 1.

Tips: $\frac{d}{dx} \int_0^x y(t) dt = y(x)$ (Analysens fundamentalsats)

Det är rätt tanke att derivera från båda leden.

Observation:

$\frac{d \int_{0}^{x} y (t) d t}{d x} = y (x) D å o m v a n l a s i n t e g r a l e k v a t i o n e n t i l l : \frac{d y}{d x} = y (x) \to \frac{d y}{y} = d x n u t a r j a g i n t e g r a l f r å n b å d a l e d e n \int \frac{d y}{y} = \int d x \to \ln y = x + C \to y = C e^{x} S v a r e t s ä t t s i n i i n t e g r a l e k v a t i o n e n : C e^{x} = 1 + \int_{0}^{x} C e^{t} d t \to C e^{x} = 1 + C (e^{x} - 1) \to C e^{x} = 1 + C e^{x} - C \to C = 1 D e t e n d a s v a r e t b l i r : y = e^{x}$

Svara