Kontinuerlig funktion
Är osäker på f(x). Borde inte f(x) vara diskret eftersom att funktionen hoppar då x=0. ???
men f(x) ska vara kontinuerlig enligt uppgiften, så jag vet att jag tänker fel.
Sen på g(x) tänker jag att den inte är kontinuerlig (eller diskret) eftersom definitionsmängden består av hela det reella talplanet och ett hopp sker vid ett värde som ingår i definitionsmängden.
f har både höger- och vänster- gränsvårde i noll ( i motsatts till g) och om din kurs' defintion av kontinuitet inte kräver likhet så är den kontinuerlig i noll trots att den inte ens är definierad där.
Kontraintuitivt, javisst!
matsC skrev:f har både höger- och vänster- gränsvårde i noll ( i motsatts till g) och om din kurs' defintion av kontinuitet inte kräver likhet så är den kontinuerlig i noll trots att den inte ens är definierad där.
Kontraintuitivt, javisst!
Jag förstår inte riktigt vad du menar
f(x) hoppar inte då x=0, eftersom x inte kan vara noll.
Kravet på "kontinuerlig funktion" är att om man varierar x kontinuerligt, så skall f(x) variera kontinuerligt.
Nu går det inte att variera x "förbi nollan" kontinuerligt. Om man tittar på x-värden som ligger oändligt nära (infinitesimalt nära) noll går det inte att variera ett sådant x-värde utan att hamna utanför funktionens definitionsmängd.
Eller med andra ord
f är kontinuerlig överallt där den är definierad
Bubo skrev:f(x) hoppar inte då x=0, eftersom x inte kan vara noll.
Kravet på "kontinuerlig funktion" är att om man varierar x kontinuerligt, så skall f(x) variera kontinuerligt.
Nu går det inte att variera x "förbi nollan" kontinuerligt. Om man tittar på x-värden som ligger oändligt nära (infinitesimalt nära) noll går det inte att variera ett sådant x-värde utan att hamna utanför funktionens definitionsmängd.
Är detta rätt? Funktionen är kontinuerlig om den är sammanhängande för alla x i definitionsmängden. Men eftersom x=0 inte ingår i definitionsmängden kommer funktionen vara kontinuerlig.
Och har jag skrivit g(x) rätt också?
Ja, jag känner mig säker på att du har rätt här.
Låt f(1)=2, f(2)=1 och f(x)=x för övriga x i Df= (0,3). Då är f inte kontinuerlig men f(Df) är sammanhängande. Det är alltså inte så, att en funktion måste vara kontinuerlig om bilden av Df är sammanhängande. Däremot gäller omvändningen av detta påstående: Kontinuerliga bilden av en sammanhängande mängd är sammanhängande.
Om vi tar intervallet x<0, ovan så kan det som ni beskriver också uttryckas så här:
Intervallet är en öppen mängd. Då har varje punkt en omgivning helt belägen i mängden. Det betyder att varje punkt i Df har punkter i Df både till höger och till vänster om varje punkt i intervallet.
