8 svar
126 visningar
Korvgubben behöver inte mer hjälp
Korvgubben 175 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2017 15:22

Kontinuerlig funktion

Hej. Behöver hjälp med en uppgift.

 

Visa med hjälp av definitionen för kontinuitet att

f(x)=3x+2, x-23

är kontinuerlig.

 

Man skall alltså visa detta m.h.a. ε-δ definitionen för kontinuitet. Detta är helt nytt för mig, och därför känner jag mig något villrådig. Jag började på följande sätt

f(x)-f(c)=3x+2-3c+2=3x-c3x+2+3c+2<ε

Nu måste jag väl hitta något δ så att implikationen gäller? Men exakt hur gör jag detta? Tacksam för svar!

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2017 16:48

Hej!

Om x x och c c är positiva tal så är

    12+3x+2+3c122 , \frac{1}{\sqrt{2+3x}+\sqrt{2+3c}} \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\ ,

och då kan du skriva

    |f(x)-f(c)|322·|x-c|<ϵ |f(x)-f(c)| \leq \frac{3}{2\sqrt{2}}\cdot |x-c| < \epsilon

om du väljer |x-c|<δ(ϵ) |x-c| < \delta(\epsilon) där

    δ(ϵ)<223ϵ . \delta(\epsilon) < \frac{2\sqrt{2}}{3}\epsilon\ .

Hur blir det om x x och c c ligger i det öppna intervallet (-23,0) (-\frac{2}{3},0) ?

Albiki

Korvgubben 175 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2017 17:19 Redigerad: 15 sep 2017 17:21

Om x och c ligger i intervallet (-23,0), då gäller väl

13x+2+3c+2>122?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2017 17:47

Låt

δ=13(ε2+2ε3c+2)

Då har du att

x - c < δ 3x+2 < ε2+2ε3c+2+3c + 2 =(ε + 3c+2)2  3x+2+3c+2<ε + 23c+2

Så alltså gäller det att

x-c<δ 3x+2-(3c+2)<3δ 3x+2-3c+23x+2+3c+2<3δ 3x+2-3c+2(ε+23c+2)<ε2+2ε3c+2 3x+2-3c+2<ε

Med risk för något feltänk någonstans.

Korvgubben 175 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2017 17:51

Tack, Stokastisk. Men hur kom du fram till vad ∂ skulle vara i början?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2017 18:24 Redigerad: 15 sep 2017 19:21

Tusan, jag tänkte fel ser jag. Näst sista implikationen jag skrev var nog ett önsketänkande för att slippa krånglet när c är nära -2/3. Implikationen är helt enkelt fel.

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2017 18:39

Ja egentligen, för att komma förbi problemet vid c är nära -2/3 så kan man göra såhär. Säg att vi vill visa att den är kontinuerlig på [s,) [s, \infty) där s>-2/3 s > -2/3 . Vi har då att om

δ=233s+2ε

Att vi får att

x-c<δ 3x+2-3c+2=3(x-c)3x+2+3c+2<3δ23s+2=ε

Sedan visar man att den är kontinuerlig även vid x = -2/3 så är man sedan färdig.

Korvgubben 175 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2017 19:25

Okej. Hur visar jag att funktionen även är kontinuerlig i den där punkten (m.h.a. epsilon-delta metoden)?

Återigen, mycket tacksam för hjälpen, Stokastisk!

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2017 19:34

Om du ska visa att den är kontinuerlig då x = -2/3 så har du att

3|x+2/3| =|3x + 2| =3x + 22

Notera alltså att om vi väljer δ=ε2/3 så får man att

|x + 2/3| < δ (3x+2)2<ε23x + 2<ε

Svara
Close