Kontinuerlig

Undersök höger och vänstergränsvärdet för x=3. Har de samma värde? Om de har det, vad innebär det?

En "sammanhängande" funktion gör inga "hopp".

Exempelvis är följande funktion ej sammanhängande eftersom den gör ett "hopp" vid x = 1:

• f(x) = -2, då x <  1
• f(x) = 3, då x >= 1

För att ta reda på om denna funktion f(x) är sammanhängande eller inte ska man alltså kontrollera om f(x) har samma gränsvärde då x närmar sig 1 från höger som från vänster.

• Gränsvärdet då x närmar sig 1 från vänster är -2.
• Gränsvärdet då x närmar sig 1 från höger är 3.

Dessa gränsvärden är inte lika. Funktionen gör alltså ett "hopp" och är därmed inte kontinuerlig kring x = 1.

Hej!

Du vill avgöra kontinuitet utan att rita grafen.

Då gäller det att visa följande för varje punkt $a$ som tillhör funktionens definitionsmängd: Vänstergränsvärdet $\lim{x\uparrow a}f(x)$ är lika med högergränsvärdet $\lim{x\downarrow a}f(x)$ och dessa gränsvärden är lika med $f(a).$

Albiki

Hej igen!

Vänstergränsvärdet skrivs 

    $\lim_{x\uparrow a}f(x)$

och högergränsvärdet skrivs

    $\lim_{x\downarrow a}f(x).$

Albiki

Varför vill du avgöra om fuktionen  är kontinuerlig utan att rita? Att rita är det enklaste sättet.

Alla polynom är kontinuerliga, så det enda som skulle kunna vara diskontinuerligt är "skarvarna" .

(Man får oftast se upp om det skulle kunna bli division med noll, men i b-uppgiften är just det värdet specialbehandlat.)

Det lustiga var att först nästa sida står det om gränsvärden och jag får uppgiften redan nu, när man inte har hunnit läsa om det. Jag tror att rita är nog bra idé som Magdalena föreslår. Om ni tittar på A uppgiften där, vad menas med x är mindre än 3 och sedan står det 6 för x är större 3

vad menas med detta? 

Päivi skrev :

Det lustiga var att först nästa sida står det om gränsvärden och jag får uppgiften redan nu, när man inte har hunnit läsa om det. Jag tror att rita är nog bra idé som Magdalena föreslår. Om ni tittar på A uppgiften där, vad menas med x är mindre än 3 och sedan står det 6 för x är större 3

vad menas med detta? 

Det menas att

• f(x) = 2x, då x <= 3 (dvs då x är mindre än eller lika med 3)
• f(x) = 6, då x > 3

 Titta till vänster om klammerparentesen, där står det "f(x) =". Till höger om parentesen står det vad f(x) är lika med i de olika intervallen.

Det är alltså ett sätt att beskriva att funktionen f(x) har olika beteende i olika intervall.

Jämför din uppgift från igår med den röda och blåa grafen. Det här är exakt samma sätt att beskriva en funktion. 

6 skär då i y- led, Yngve som jag förstår av Dig. Är det så eftersom du skrev är lika f(x)= 6?

jag kan inte förstå, hur skulle det kunna bli så eftersom det står 2x

6 måste vara något annat så fall. 

Kan det då menas upp till 6?

den kan inte skäras vid 6. Det kan jag se utan att rita det.

Jag ska nog rita funktionen Magdalena. 

Päivi skrev :

6 skär då i y- led, Yngve som jag förstår av Dig. Är det så eftersom du skrev är lika f(x)= 6?

jag kan inte förstå, hur skulle det kunna bli så eftersom det står 2x

6 måste vara något annat så fall. 

Kan det då menas upp till 6?

den kan inte skäras vid 6. Det kan jag se utan att rita det.

Nu börjar det bli svårt att förstå vad du menar Päivi. Det är inte upphöjt till 6. Det står klart och tydligt hur f(x) är definierad. Om du inte förstår vad det står så måste du fråga oss.

 Det som står i uppgiften är, precis på samma sätt som igår, att funktionen f(x) har två olika utseenden beroende på vilket intervall x ligger i.

• Om x är mindre än eller lika med 3 så har f(x) följande utseende: f(x) = 2x. Detta är en stråle med lutning 2.
• Om x är större än 3 så har f(x) följande utseende: f(x) = 6. Detta är en horisontell stråle.

Grafen till f(x) är alltså, precis som igår, uppdelad i två delar som var och en har olika utseende. Rita upp detta i ett koordinatsystem så ser du att det är precis samma sak som gårdagens uppgift.

Den enda skillnaden är att i gårdagens uppgift så såg du den röda grafen och skulle beskriva g(x) utifrån den, men här är det tvärtom, du vet hur f(x) är beskriven och ska rita grafen utifrån det.

6 betyder som konstant. Jag gjorde nyligen i ordning papegojan, men ska nog rita funktionerna. Det är en stråle. 

Päivi skrev :

6 betyder som konstant. Jag gjorde nyligen i ordning papegojan, men ska nog rita funktionerna. Det är en stråle. 

Ja. 6 är en konstant. Det betyder att strålen är horisontell.

Om vi ska fortsätta med analogin att f(x) styckvis kan anges med hjälp av "räta linjens ekvation" y = kx + m så gäller det att k = 0 i detta intervall.

I det andra intervallet är k = 2.

Jag säger inte vad m är i de båda intervallen, det får du klura ut själv.

Blev det klarare nu?

Något blev det, Yngve. Jag ska visa upp bilden på a uppgiften nu. 

m på ena linjen är 0, eftersom den går genom  origo. 

m på den andra är 6 eftersom den är konstant och k - värdet är noll på den linjen. 

k- värdet är 2 på den där m värdet är 0

Päivi skrev :

Ja det är nästan rätt.

Du har ritat två grafer men du ska bara rita en graf.

Grafen ska ha ett utseende då $x\le 3$ och ett annat utseende då $x>3$.

 Titta på gårdagens uppgift. Om du förstod den så bör du även förstå denna. Funktionen här är beskriven på exakt samma sätt som gårdagens uppgift och grafen ska ha samma principiella utseende, dvs ett utseende till vänster om en viss punkt och ett annat utseende till höger om en viss punkt.

Hej Pävi,

Först ritar jag grafen för f(x)=2x, den ska börja långt bort men sluta när x=3, det står i uppgiften.

Så här ser det ut:

Sedan vill jag rita in den f(x)=6, som enligt uppgiften gäller då x>3, jag väljer att rita den med blå färg.

Nu ser man båda delarna av funktionen f(x), den röda delen är f(x)=2x och den blå är f(x)=6. De hänger ihop i punkten x=3. De är sammanhängande i punkten 3. Fiffigt va?

Ja. Guggle!

Då är den kontinuerlig. 

Päivi skrev :

Ja. Guggle!

Förstår du nu hur Guggles graf hänger ihop med beskrivningen av f(x)?

M på den blåa är 6 eftersom den är konstant. Den röda linjen  är m= 0 eftersom den går genom origo. 

Det betyder att röda linjen får Max gå till där x värdet i x axel är 3. Sedan kommer den andra linjen in och ska fortsätta eftersom x ska vara större än 3. Där finns ingen ändpunkt, då är tecknet så. 

Ja, det gör jag, Yngve!

Päivi skrev :

M på den blåa är 6 eftersom den är konstant. Den röda linjen  är m= 0 eftersom den går genom origo. 

Det där var inte riktigt svar på frågan, men OK, jag antar att du förstår hur beskrivningen av f(x) hänger ihop med grafens utseende.

Om du inte gör det så är det superviktigt att du frågar, för precis som jag skrev igår så kommer det att dyka upp många uppgifter framöver där du behöver förstå liknande samband.

Det tycker jag att jag förstår, hur det hänger ihop, Yngve. Nu svarade jag till Dig Yngve, eftersom du pratade om y= kx+ m på båda. Det var därför svaret blev så. 

Första uppgiften är kontinuerlig. 

Jag kommer fråga eftersom detta är helt nytt för mig. Har aldrig sysslat med sådant.

Då gäller det rita B uppgiften. 0 är konstant här. Den linjen ser annorlunda ut. Sedan står det - tecken framför också. 

Jag ska rita den linjen som handlar om B uppgiften. 

Päivi skrev :

Grafen är rätt i i intervallet x < 0 och där x = 0, men inte i intervallet x > 0.

Läs villkoren igen noga.

Där står det att g(x) har ett utseende för alla x som är skilda från 0 och ett annat utseende då x = 0.

Ta x = 1 som exempel. x = 1 ingår i intervallet "x skilt från noll", så där gäller att g(x) = -5x^2/x.

God morgon, Yngve! Så säger man på morgonen, när man har vaknat upp, Yngve! Då måste tecknet var precis tvärtemot, Yngve att x är mindre än noll eller annars förstår jag inte. 

Päivi skrev :

Då måste tecknet var precis tvärtemot, Yngve att x är mindre än noll eller annars förstår jag inte. 

Jag förstår inte vad du menar med att tecknet måste vara precis tvärtemot.

---------------

Jag antar att du menar att du inte förstår hur villkoren på x är beskrivna. Låt mig då förklara det så här:

De hade lika gärna kunnat skriva på följande sätt:

• g(x) = -5x^2/2, då x < 0
• g(x) = 0, då x = 0
• g(x) = -5x^2/2, då x > 0

Men de valde att skriva det på ett kortare sätt, nämligen genom att beskriva både intervallet x < 0 och intervallet x > 0 på följande sätt: $x \neq 0$.

Blev det klarare då?

Jag förstår Yngve Dig!

Jag ska fixa lite bilder på funktioner lite snyggare sätt tänkte jag. Sedan tar jag sista uppgiften. Kolla (läs) Yngve. Svara

Päivi skrev :

• Då $x \geq 1$ så är $h(x) = x$. Denna stråle har samma lutning som och sammanfaller med linjen $y = x$ för de x som är större än eller lika med 1.
• Då $x < 1$ så är $h(x) = x^2 + 1$. Denna kurva har formen av en parabel och den sammanfaller med grafen till $y = x^2 + 1$ för de x som är mindre än 1.

Det här är precis samma typ av funktionsbeskrivning som i a- och b-uppgiften (och även samma som din tidigare uppgift med den röda och den blåa grafen).

Då måste den vara kontinuerlig,Yngve? (Läs) svara. 

Tack så mycket er alla för detta. Nu har jag förstått i alla fall för hoppnings vis. 

Jag undrar om det inte är så att du krånglar till det för dig Päivi. Jag föreslår att du gör så här:

1. Ta reda på vilka intervall som är definierade (dvs vad det är för villkor på x). I c-uppgiften är det följande två intervall: $x \geq 1$ och $x < 1$.
2. Ta ett intervall i taget, ta reda på hur funktionen är definierad i det intervallet och rita grafen i det intervallet.
3. I c-uppgiften är det ena intervallet $x \geq 1$. I det intervallet är h(x) definierad som $h(x) = x$. Rita alltså grafen till $y = x$ i det intervallet, dvs endast för de x som är större än eller lika med 1.
4. Det andra intervallet är $x < 1$. I det intervallet är h(x) definierad som $h(x) = x^2+1$. Rita alltså grafen till $y = x^2+1$ i det intervallet, dvs endast för de x som är mindre än 1.

Päivi skrev :

Då måste den vara kontinuerlig,Yngve? (Läs) svara. 

Rita den och avgör själv. Följ gärna min beskrivning i detta inlägg.

--------

Den graf du ritade nyss stämmer inte:

Du har markerat fel punkt för x = 0, grafen saknar delen där x < 0 och grafen har fel utseende för x > 1

Hej Yngve!

Jag är inte hemma just nu. Åker snart hem igen. Ca 21:00 lär jag vara hemma. Vi tar det sedan. 

Päivi skrev :

Ja nu ser grafen mycket bättre ut. h(x) är alltså inte kontinuerlig för alla x.

Läs Yngve!

Päivi skrev :

Läs Yngve!

Läs vad?

Titta efter vad du har fått. Titta på något som börjar med P, Yngve.