Kontinuerlig

Kanske har att göra med definitionen av en 'hel' funktion.

De har definierat $H(z) = \frac{1}{p(z)}$. Jämför med 1/x: var är den diskontinuerlig? Jo, i x=0. Så H(z) är diskontinuerlig där p(z) är noll. Men resonemanget förs under antagandet att p(z) saknar nollställen, dvs. att p(z) aldrig blir noll. Och då blir H(z) aldrig diskontinuerlig.

Skaft skrev:

De har definierat $H(z) = \frac{1}{p(z)}$. Jämför med 1/x: var är den diskontinuerlig? Jo, i x=0. Så H(z) är diskontinuerlig där p(z) är noll. Men resonemanget förs under antagandet att p(z) saknar nollställen, dvs. att p(z) aldrig blir noll. Och då blir H(z) aldrig diskontinuerlig.

Tack! Varför existerar det ett r och det står p(z)>1? Menar tredje raden. Beror det också på kontinuitet?

I kapitel 3 visade de att avståndet till p(z) (från origo, dvs. |p(z)|) går mot oändligheten när avståndet till z (från origo, dvs. |z|) går mot oändligheten. Det innebär att avståndet till p(z) inte kan variera hur som helst. I "förlängningen", om |z| bara växer och växer, måste |p(z)| också växa, och därför bli större än 1. Så om |z| bara är tillräckligt stort (större än ett okänt tal, r), måste |p(z)| > 1.

Skaft skrev:

I kapitel 3 visade de att avståndet till p(z) (från origo, dvs. |p(z)|) går mot oändligheten när avståndet till z (från origo, dvs. |z|) går mot oändligheten. Det innebär att avståndet till p(z) inte kan variera hur som helst. I "förlängningen", om |z| bara växer och växer, måste |p(z)| också växa, och därför bli större än 1. Så om |z| bara är tillräckligt stort (större än ett okänt tal, r), måste |p(z)| > 1.

Tack för din förklaring. Men jag är fortfarande fast på varför det står just större än 1 och inte 0 eller 2? Tänker vi på att vi har en cirkel eller?

Om jag förstår beviset rätt så skulle ettan mycket riktigt kunna vara någon annan konstant också, jag tror den är vald till 1 för enkelhetens skull. Resonemanget är att vi väljer en (tillräckligt stor) radie r, och undersöker H(z) utanför och innanför den cirkeln.

Utanför cirkeln så kan |p(z)| inte bli hur litet som helst, vilket innebär att |H(z)| = 1/|p(z)| inte kan bli hur stort som helst (nämligen mindre än 1, om vi valt 1 som undre gräns för |p(z)|).

Innanför cirkeln måste |H(z)| också ha ett maxvärde, enligt sats 2.9. |H(z)| är alltså begränsad, vilket enligt Liouville's sats innebär att det måste vara en konstant. Och då är även p(z) en konstant, vilket går emot premisserna. Motsägelsen innebär att p(z) inte kan sakna nollställen.

Skaft skrev:

Om jag förstår beviset rätt så skulle ettan mycket riktigt kunna vara någon annan konstant också, jag tror den är vald till 1 för enkelhetens skull. Resonemanget är att vi väljer en (tillräckligt stor) radie r, och undersöker H(z) utanför och innanför den cirkeln.

Utanför cirkeln så kan |p(z)| inte bli hur litet som helst, vilket innebär att |H(z)| = 1/|p(z)| inte kan bli hur stort som helst (nämligen mindre än 1, om vi valt 1 som undre gräns för |p(z)|).

Innanför cirkeln måste |H(z)| också ha ett maxvärde, enligt sats 2.9. |H(z)| är alltså begränsad, vilket enligt Liouville's sats innebär att det måste vara en konstant. Och då är även p(z) en konstant, vilket går emot premisserna. Motsägelsen innebär att p(z) inte kan sakna nollställen.

Tack för din förklaring. Jag hittade denna förklaring. Se bilden! Tror också samma sak, alltså att ettan mycket riktigt kan vara någon annan konstant.

Av nyfikenhet, vad för kurs kan det här vara?

Qetsiyah skrev:

Av nyfikenhet, vad för kurs kan det här vara?

analys 

Skaft skrev:

Om jag förstår beviset rätt så skulle ettan mycket riktigt kunna vara någon annan konstant också, jag tror den är vald till 1 för enkelhetens skull. Resonemanget är att vi väljer en (tillräckligt stor) radie r, och undersöker H(z) utanför och innanför den cirkeln.

Utanför cirkeln så kan |p(z)| inte bli hur litet som helst, vilket innebär att |H(z)| = 1/|p(z)| inte kan bli hur stort som helst (nämligen mindre än 1, om vi valt 1 som undre gräns för |p(z)|).

Innanför cirkeln måste |H(z)| också ha ett maxvärde, enligt sats 2.9. |H(z)| är alltså begränsad, vilket enligt Liouville's sats innebär att det måste vara en konstant. Och då är även p(z) en konstant, vilket går emot premisserna. Motsägelsen innebär att p(z) inte kan sakna nollställen.

En fråga! Om jag väljer tex N (dvs en konstant) istället för 1 så ska man skriva |H(z)| = 1/|p(z)<1/N? Då blir det max [1/N, M1]...tänker jag rätt?

Ja, precis! Det är iallafall min tolkning.

Ja, analys men vad heter själva kursen?

Qetsiyah skrev:

Ja, analys men vad heter själva kursen?

Jag undrar vilken sats de använder för att bevisa att det existerar M1? Hur vet man? Är det på grund av att vi har ett kompakt område?