konstruktion av den reella tallinjen med dedekindsnitt

Jag försöker förstå mig på följande bevis (är det ett bevis när man konstruerar nåt eller kallar man det bara för en konstruktion 🤔)

Det jag inte fattar är påståendet att $δ < γ \Rightarrow δ < α$ , jag förstår att om delta är en delmängd (proper subset) av gamma så existerar det ett element s.a elementet ligger i gamma men inte i delta men varför skulle detta implicera att delta är en delmängd av alfa? För om gamma utgör av unionen av alla $α_{n}$ så kan det väl vara så att det existerar ett element i delta som inte existerar i alfa? Hur fungerar logiken här?

All hjälp uppskattas!

Kruxet kommer från diskussionen i Steg 2 och att konstruktionen ser till att R är 'totallt ordnad'. Ett cut $\delta$ är antingen en delmängd till $\alpha$ eller så är $\alpha$ en delmängd till $\delta$ . Det finns ingen annan möjlighet. Cuts kan inte överlappa partiellt. Den ena omsluter alltid den andra. Då $\alpha$ innehåller åtminstone ett element fler än $\delta$ via val så följer direkt att $\delta < \alpha$

Implikationen är: $\exists s \in \alpha : s \not \in \delta \Rightarrow \delta < \alpha$ (via Step 2)

Detta är tänkt att konstruera (garantera) egenskapen att ett reella tal antingen är lika eller så är ett tal större än det andra. Detta är i kontrast med exempelvis komplexa tal där man inte kan säga att ett komplext tal är större än ett annat i 'total ordning'-mening.

Egenskap (II) ska egentligen försås mer visuellt som att att 'cutsen' är 'vänsterhalvor av en Q-tallinje' där skärningspunkten som delar upp Q-tallinjen representerar ett reellt tal. Eftersom 'vänsterhalvor' inte kan överlappa partiellt utan en vänsterhalva är alltid helt inom en annan 'vänsterhalva' så får vi (II)-egenskapen.

En liten kommentar: Om målet enbart är att konstruera R från Q, så kommer man betydligt mer intuitivt fram genom Cauchys fundamentalföljder. Man behöver då bara utgå från den vanliga topologin på Q och definiera R som slutna höljet av Q. Eftersom den vanliga topologin på Q har uppräknelig bas vid varje punkt behöver man inte ta till nät/filter utan det räcker att betrakta de konvergenta följderna i Q.

Med Dedekindsnitten kommer vi emellertid åt en del aspekter som annars verkar svåra. T ex som ovan, axiomet om en minsta övre begränsning.

Svara