konstruera tredjegradsfunktion
hur konstruerar man en tredjegradsfunktion som har en terasspunkt?
jag vet att man efter derivering får fram en andragradsfunktion, men vad krävs det för lösningar ( ingen, 1 eller 2 lösningar), för att en terasspunkt ska bildas?
ska man exempelvis konstruera en 3gradsfunktion som saknar extrempunkter ska lösningen ha 0 nollställen/lösningar.
Först, det är bra att veta att y = x3 har en terrasspunkt i origo.
Derivatan ska ha ett dubbelt nollställe dvs
f’(x) = C(x–a)2 där C ≠ 0
Det ger
f(x) = (x–a)3 C/3 + B
C är en godtycklig konstant så du kan byta C/3 mot A
f(x) = A(x–a)3 + B där A ≠ 0.
För enkelhets skull kan du välja A = 1 och a = B = 0:
f(x) = x3
Mogens skrev:Derivatan ska ha ett dubbelt nollställe dvs
varför? eller vad menar du med det?
f’(x) = C(x–a)2 där C ≠ 0
Det ger
f(x) = (x–a)3 C/3 + B
C är en godtycklig konstant så du kan byta C/3 mot A
f(x) = A(x–a)3 + B där A ≠ 0.
hänger inte riktigt med, skulle du kunna förklara vad du gör här? tack på förhand
En terrasspunkt är en punkt där derivatan är noll men inte ändrar tecken. Därför ska det vara en faktor i kvadrat. (x–a)2 har samma tecken för x > a och x < a.
Eftersom f(x) är av grad 3 så är f’(x) av andra graden. Det betyder att det bara finns ett nollställe, så f’(x) kan skrivas som en konstant gånger (x–a)2.
Har ni talat om primitiva funktioner? Om vi deriverar f(x) ska vi få konst*(x–2)2.
Deriverar du (x–a)3 får du 3(x–a)2,, så f(x) är på formen konst*(x–a)3 (plus en annan konstant).
Om du har svårt att hänga med föreslår jag att du utgår från någon funktion, säg
f(x) = 7(x–5)3 + 6 och kollar att den får en terrasspunkt. Då kan du se hur resonemanget funkar.
(PS TeRRasspunkt stavas med två r. Det kommer av terra som betyder jord(en). :)
