Konstruera Rotekvationer (Matematik/Matte 2/Algebra)

Lösningsmetoden när du löser denna uppgift kommer att vara att kvadrera båda led. Då får du ekvationen $x = {(a x + b)}^{2}$ . Hur går du vidare för att lösa den? :)

2x -4 = roten ur x

har inte svaret x = +-2.

Jag antar att de frågar efter skärningen mellan y= $\sqrt{x}$ och y=ax+b . Prova a=1 och b =0 vad får du då? Rita upp y= $\sqrt{x}$ .

Smutstvätt skrev:
Lösningsmetoden när du löser denna uppgift kommer att vara att kvadrera båda led. Då får du ekvationen $x = {(a x + b)}^{2}$ . Hur går du vidare för att lösa den? :)

Jag förenklade det till->

hur kmr jag vidare?

Ett exempel om vill gå via graf. Vilken linje motsvarar a,b,c? Geogebra.

Hmm intressant.. Hur skulle man kunna veta det?

Alla räta linjer kan beskrivas genom formeln y=kx+m där k är linjens lutning och m är slinjens skärningspunkt med y-axeln.

Vilken av linjerna har 2, 1, 0 korsningar med kurvan $y=\sqrt{x}$ ?

Den röda grafen och den blåa grafen kodar den gröna grafen som verkar ha funktionen roten ur x

solskenet skrev:
Den röda grafen och den blåa grafen kodar den gröna grafen som verkar ha funktionen roten ur x

Menar du "korsar" när det står "kodar"? Varför svarar du inte på de frågor jag ställer till dig? De är till för att hjälpa dig.

Det ska stå ”korsar”.

”Vilken av linjerna har 2, 1, 0 korsningar med kurvan Roten ur x? ”

Svar : den blåa och röda grafen kommer korsa kurvan roten ur x. Vad menar du med linjerna 2,1,0?

Hur relaterar korsningen mellan y= $\sqrt{x}$ och y=ax+b med antal rötter för ekvationen som skall lösas? Dvs svaren till a,b,c

I exemplet är de räta linjerna y=x-1, y=0.5x + 0.25 resp y=2x+1 om det är svårt att se. k=a och b=m i y=kx+m.

Jag kan se att de har endast en skärningspunkt dvs en lösning och ett x värde

Blå linje skär i 2 punkter => 2 rötter

Röd linje i en punkt => 1 rot

Gul linje skär inte alls => ingen lösning = ingen rot.

Har du geogebra på PC eller desmos på smartphone kan du experimentera.

Okej.. Alltså röda grafen som har ekvationen x-1=f(x) den har 2 rötter

—

Orange grafen som har ekvationen 2x+1=f(x) har 1 rot dvs en lösning

——

Gröna grafen skär blåa och röda ... 2 lösningar

Det är bara intressant med skärningen emellan y= $\sqrt{x}$ och linjerna. Att linjerna skär varandra har inte med saken att göra.

y=2x+1(orange) skär inte y= $\sqrt{x}$ alltså ingen rot.

Okej... Hur ska jag göra nästa steg?

Jag har valt a=2, b=1; a=1, b=-1; a=1/2, b=-1/4. Det blir 3 rotekvationer. Det går inte att ha 1 kombination av a och b. Jag vet inte vilken form de vill ha svaret i. Men det står att att man skall verifiera grafiskt.

Du kan skriva $\sqrt{x}$ =ax+b eller y= $\sqrt{x}$ ,y=ax+b välja a och b som jag gjort. Eller göra motsvarande experiment, som jag. Du kan väl skaffa geogebra och prova olika a och b. Har man ritat upp y= $\sqrt{x}$ är det lätt att se vilka linjer som ger 1,2 eller ingen rot genom skärningspunkterna.

Du löser andragradsekvationen som du kom fram till på papperet, eller åtminstone tar reda på diskriminanten.

Kan jag lösa uppgiften algebraiskt? Kan man inte väl testa med att sätta in olika tal.. eller testa att lösa ut x:et från ekvationen ”roten ur x = ax+b”

Det här är inte en uppgift där det bara finns ett enda korrekt svar. Det finns många olika räta linjer som inte korsar funktionen $y=\sqrt{x}$ . Det finns många olika räta linjer som korsar funktionen $y=\sqrt{x}$ på ett enda ställe. Det finns många olika räta linjer som korsar funktionen $y=\sqrt{x}$ på två olika ställen. I den här uppgiften är det förståelse som behövs, inte beräkningar.

Om vi går tillbaka till bilden som rapidos bifogade.. Kan man säga att de grafer som skär den gröna grafen kommer ha minst en lösning.

Röda grafen som har ekvationen x-1=y har en lösning eftersom den skär den gröna grafen vid ett ställe. Alltså det finns en lösning för denna ekvation.

Roten ur x = x-1 har en lösning.

——

Den gula/orange grafen har ingen lösning för den gula grafen skär INTE den gröna grafen.

Alltså 2x+1 = roten ur x har ingen lösning

———

Den blåa grafen skär den gröna grafen vid 2 ställen. Alltså är det 2 rötter (2 lösningar)

Det stämmer. Hur kan du utnyttja detta för att kunna svara på de tre delfrågorna i uppgiften?

Om jag ska konstruera en ekvation som inte har en lösning kan det tex vara 2x+1= roten ur x.

Om jag ska konstruera en ekvation med endast en rot kan det tex vara x-1= roten ur x

om jag ska konstruera en ekvation med 2 lösningar så kan det tex vara roten ur x = 2x

Det ser rätt ut.

Jag löste detta med hjälp av appen photomath.. Men hur kan man tänka om man inte har tillgång till en grafritare?

Du behöver kunna rita för hand. Se till att du lär dig det.

ska man testa med att sätta in olika x värden. Om jag tex har funktionen roten ur x = 2x+1

säg att jag väljer värdet av x=4

2*4+1 = 9

roten ur 9 =3 . Vad skulle detta isåfall innebära? Är detta en skärningspunkt för de 2 grafer?

Börja med att rita in funktionen $y=\sqrt{x}$ . Rita därefter in

en rät linje som korsar kurvan på två ställen
en rät linje som korsar kurvan på ett ställe
en rät linje som inte korsar kurvan

Ta reda på formeln för var och en av de tre linjerna. Välj gärna linjerna på ett smart sätt, så att det är lätt att bestämma linjernas ekvationer.

Då fattar jag. Tack!