Konstanterna a och b

Tips: en andragradsekvation med två olika nollställen kan skrivas på formen:

$y=k(x-x_1)(x-x_2)$

Kan du uttrycka rötterna som funktion av $a$ och $b$?

Kurvan skär x axeln för x =0 och för x = a/b, vilket är dina integrationsgränser.

kan du få fram en primitiv funktion?

Ture skrev:

Kurvan skär x axeln för x =0 och för x = a/b, vilket är dina integrationsgränser.

kan du få fram en primitiv funktion?

 Hur kom du fram till att x = a/b

Hej

Du har själv kommit till att $a=bx\iff \frac{a}{b}=\frac{bx}{b}\iff \frac{a}{b}=x$. Kommer du vidare nu?

Du har själv kommit fram till att $a=bx$. Dela båda led med $b$.

le chat skrev:

Ture skrev:

Kurvan skär x axeln för x =0 och för x = a/b, vilket är dina integrationsgränser.

kan du få fram en primitiv funktion?

 Hur kom du fram till att x = a/b

 Det tog jag ur din uträkning, a-bx=0 hade du fått fram. Jag löste ut x

Alternativt faktorisering:

$y=-bx(x-\frac{a}{b})$

 Nu när jag känner till nollställerna  borde jag väl räkna ut a och b genom att integrera, eller hur?  Finns det ett annat alternativ?

Du ska integrera och därmed bestämma arean, uttryckt i a och b, som det frågas efter.

le chat skrev:

 Nu när jag känner till nollställerna  borde jag väl räkna ut a och b genom att integrera, eller hur?  Finns det ett annat alternativ?

 Ja du ska integrera funktionen från x = 0 till x = a/b.

Integralens värde (som är lika med områdets area) blir ett uttryck som beror på a och b.

Du ska alltså inte beräkna a och b utan uttrycka arean med hjälp av a och b, precis som det står i uppgiftslydelsen.

Hej!

Arean av det markerade området är lika med integralen

    $\displaystyle\int_{x=0}^{c}ax-bx^2\,dx$

där talet $c>0$ är en lösning till ekvationen $ax-bx^2=0.$

Integralen beräknas till

    $\displaystyle [\frac{ax^2}{2}-\frac{bx^3}{3}]_{0}^{c} = \frac{ac^2}{2}-\frac{bc^3}{3} = c\cdot(\frac{ac}{2}-\frac{bc^2}{3}).$

Då det gäller att $ac-bc^2 = 0$ så kan man ersätta $bc^2$ med $ac$ i integralberäkningen för att kunna skriva integralen som

    $\displaystyle c\cdot(\frac{ac}{2}-\frac{ac}{3}) = \frac{ac^2}{6}.$

Eftersom $c>0$ så ger ekvationen $bc^2=ac$ att $c = \frac{a}{b}$. Insättning i integralberäkningen ger resultatet

    $\displaystyle\int_{x=0}^{c}ax-bx^2\,dx = \frac{a^3}{6b^2}.$