Konservburksproblem

Uppgiften vi ska lösa lyder så här: Du har av en förpackningsindustri fått i uppdrag att utforma en ny serie konservburkar. Ditt uppdrag är att hitta de proportioner på burkarna som gör att materialåtgången blir så liten som möjligt.

·         Anta att man kan skära ut alla delar till en cylinderformad konservburk utan att man gör några materialförluster. Bestäm förhållandet mellan höjden h och radien r till en cylinderformad konservburk som gör att materialåtgången blir så liten som möjligt.

·         Nu är det inte möjligt att skära ut topp och botten till konservburken utan att göra materialförluster. Anta därför att topp och botten skärs ut ur en kvadratisk skiva med sidlängden 2r. Bestäm förhållandet mellan höjden h och radien r som med detta antagande gör materialåtgången så liten som möjligt.

·         Ännu mindre materialspill får man om man skär ut topp och botten ur en skiva med formen av en regelbunden sexhörning. Bestäm förhållandet mellan höjden h och radien r som med detta antagande gör materialåtgången så liten som möjligt.

·         Bege dig till en livsmedelsaffär och kontrollmät förhållandet mellan höjd och radie för olika konservburkar. Vilka avvikelser finner du från dina beräkningar? Ge en rimlig förklaring till eventuella avvikelser mellan resultaten av dina beräkningar och de burkar du hittade i affären

Jag har (typ) löst frågorna med hjälp av andra, men förstår inte varför jag ska ta A'(r) = 0 för att få minsta materialtillgång.

På delen med sexhörningen förstår jag inte hur man tar fram arean. Det jag förstår är att man ska dela upp det som 6 trianglar på toppen och botten + att man ska ta mantelarean för den långa delen. På tidigare trådar av samma upgift menar dem att man beräknar arean som;

A=6⋅r^2⋅tan(α/2) +6⋅r^2⋅tan(α/2) +2⋅π⋅r⋅h

Men jag fattar inte varför man ska ta tan. 

Tack på förhand för hjälpen!