Konservburkar problem

Hej och välkommen hit.

Ni verkar ha börjat bra. Var har ni kört fast? Visa beräkningarna.

V=pi*r^2*h
h=V/pi*r^2

A(r)=2*pi*r(h+r)=2*pi*r((V/pi*r^2)+r)=(2V+2*pi*r^2)/r

A'(r)=(6*pi*r^2-2V)/r^2

Längre än så har vi inte kommit. 

Bra tänkt. Och vad gäller för den där derivatan när vi har minimal materielåtgång?

Att vi ska sätta A'(r)=0? 

Ja.

För små värden på r måste h vara stort, och då går det åt mycket plåt.
Materielåtgången minskar när r ökar, dvs V'(r) är negativ.

För stora värden på r måste h vara litet, och då går det åt mycket plåt.
Materielåtgången ökar när r ökar, dvs V'(r) är positiv.

Du skrev A(r)= ... =(2V+2*pi*r^2)/r

Skriv det som 2V*(1/r)  +  2*pi*r  i stället, så kommer du nog att derivera rätt.

Då får vi A'(r)=-2V*(1/r^2)+2*pi

Sätter vi sedan A'(r)=0 får vi att r=(2V/2*pi)^(1/2)

Hur kommer vi vidare här ifrån?

Då är det dags att komma ihåg vad själva frågan är... :-)

Ja, men nu har vi bara ett samband mellan volymen och radien, det är inte det vi söker. Sätter vi V=pi*r^2*h och försöker lösa ut ett samband divideras bara r^2 bort. 

Kan du förklara i egna ord vad uppgiften är?

Vi ska hitta ett förhållande mellan höjden och radien på en konservburk när materialåtgången är som minst.

Just det. Du har räknat fram allt som behövs. Titta på dina egna beräkningar igen.

Vi har gått igenom dem båda två, men vet inte vad vi ska göra. Det står helt still. 

Vad är r? Det har du redan räknat ut.

Vad är h? Det har du redan räknat ut.

Du menar att vi ska sätta in h=V/pi*r^2 i r=(2V/2*pi)^(1/2) eller tvärtom. Men då får vi ett förhållande mellan volymen och höjden. Och nu har vi bara två separata formler som inte säger oss något. Är det svårare än du påstår eller är det bara vi som är helt blinda för detta? Haha

Du ska beräkna förhållandet mellan höjden och radien.

Du ska beräkna h/r.

Så klart! Vi har tänkt att vi måste ha h=r hela tiden. Tack så mycket! Nu får vi se om vi lyckas lösa resten av uppgiften!

Det är fel i A(r) formeln  sista steget där det står inom parentes 2V+2*pi*r^2. V har ju dimensionen längd^3 medan r^2 har dimensionen längd^2.
A(r)=2*pi*r(h+r)=2*pi*r((V/pi*r^2)+r)=(2V+2*pi*r^2)/r

Rätta till detta innan derivering!

Det är väl rättat efter mitt tredje inlägg?

Nej om du menar 2V*(1/r)  +  2*pi*r så är det fel även där. Det ser man som sagt med en enkel dimensions kontroll. Det
första(2V*(1/r) som är rätt) har som sagt dimensionen längd^2 och det sista (2*pi*r som är felaktigt) har dimensionen längd.
Rätta till detta innan derivering.

Just det - tack!

Ibland läser jag vad jag vill se, inte vad det egentligen står...

Jag hänger inte alls med. Var har det blivit fel och hur rättar vi felet?

Vi får h/r till V/(r^4*pi).. det är ju inget förhållande mellan h och r. 

Det är fel vid röda pilen.

Förstår inte. Har räknat om det men kommer fram till samma svar sak som du säger är fel. 

Tänk på att du har en division med r som gäller för hela din parentes.  Skriv också gärna om det till två uttryck utan gemensam nämnare. Men som sagt rätta till detta innan derivering.

V=pi*r^2*h  Just det. Basytan pi*r^2 gånger höjden h
h=V/pi*r^2   Nja, nästan rätt här också. Du menar V/(pi*r^2). Parentesen är viktig

A(r)=2*pi*r(h+r) Ja, det är rätt.

2*pi*r((V/(pi*r^2))+r)  Ja, det fetmarkerade är ju lika med h.

2*pi*r((V/(pi*r^2))+r)= nästa steg blir fel...

2*pi*r((V/pi*r^2)+r)=   2*pi*r gånger (V/(pi*r^2))   plus   2*pi*r*(r)

Ja och då får jag (2*pi*r*V)/(pi*r^2)+(2*pi*r^2)

Multiplicerar det sista med pi*r^2 för att kunna skriva ihop det och får:

(2*pi*r*V+2*pi^2*r^4)/(pi*r^2)

Bryter ut pi*r och får:

((pi*r)(2*V+2*pi*r^3))/(pi^r^2)

Förkortar och får:

(2*V+2*pi*r^3)/r

Deriverar och får:

(6*pi*r^2*r - 1*(2V+2*pi*r^3))/r^2 = (6*pi*r^3 - 2V - 2*pi*r^3)/r^2 = (4*pi*r^3 - 2V)/r^2

Rätt!  Fortsätt nu för att få förhållandet h/r.

Så om vi sätter derivatan = 0 och löser ut r får vi:

r = (2V/(4*pi))^(1/3) = (V/(2*pi))^(1/3)

h/r = (V/(pi*r^2))/(V/(2*pi))^(1/3) = (V/(pi*r^2))*(((2*pi)^(1/3))/(V^(1/3)) = (V*((2*pi)^(1/3)))/(pi*r^2*((V^(1/3)))

Hur förenklar jag det vidare?

Du krånglar till det. Derivatan är noll om
4*pi*r^3 - 2V =0. Detta innebär att
2*r=V/(pi*r^2). Det sista uttrycket är lika med h. 

Nu hänger inte jag med mer. Derivatan är väl noll om

(4*pi*r^3-2V)/r^2= 0 ?

Och var får du 2*r=V/(pi*r^2) ifrån?

4*pi*r^3-2V = 0 ger
4*pi*r^3=2V dividera båda led med 2*pi*r^2. 

Okej, jag ser vad du gör men förstår inte varför. 

Vi får vänster led till
2*r
Vi får höger led till
V/(pi*r^2) vilket är lika med h
Alltså:

2r=h

Ja, jag förstår hur du löser ut det sista nu men förstår inte var du får att du ska dela båda leden med 2*pi*r^2 ifrån. Du måste ju få det någonstans ifrån. Finns ingen vits med att göra matte om man inte förstår varför man gör som man gör, haha. 

Den divisionen gör jag bara för att få fram ett uttryck som jag kan identifiera som h. Du kan ju lika gärna sätta in att
V=h*pi*r^2 och fortsätta där.

Jaha! Tack så mycket! Nu får vi bara hoppas att vi lyckas lösa ut de resterande delarna av uppgiften.

Detta är till punkt 2, alltså när man ska räkna ut topp och botten från en kvadrat med sidan 2r. Är det rätt? Hur förenklar vi det sista till ett godtyckligt svar?

Det har blivit fel i  början här:
$4·r^2-\pi ·r^2 är fel$
Om man tittar på vad det innebär så är det den blå ytan som verkar vara resultat av subtraktionen. Varför?
Ändra detta innan derivering.

Vi måste ha cirkelns area, men hur får vi fram det då? Fattar inte. 

Varför behöver ni cirkelns area? Det går ju åt mera plåt nu med kvadratiska plåtbitar. Däremot är det bra att veta cirkelns radie för att ta med den i $2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{h}$ formeln och för volymen
1. Hur mycket plåt kommer att gå åt för botten och topp yta tillsammans?
2. Hur mycket plåt kommer att gå åt för sidoytan
3. Lägg ihop dessa för att få totala ytan

Sedan är det bara att derivera.

Menar du att vi ska räkna så som vi gjorde på första delen men att vi ska räkna som ett rätblock? Och sen ta rätblockets area - en cylinders? Vi ska ju räkna förhållandet mellan r och h när topp och botten skärs ut av en kvadrat för då blir materialspillningen mindre. 

Ja i första försöket så var det inget spill alls för att få den tilltänkta konservburken. Nu tillkommer lite spill i och med att vi kan bara använda en kvadratisk plåtbit som startmaterial dvs vi får kassera de blå bitarna enligt bilden jag skickade innan. Så en approach här är alltså att ni tar eran ursprungliga (botten+topp) area och lägger till 2*spillytan som ni hade räknat fram. Då får ni också rätt ekvation på (botten+topp) arean fast lite omständligt.

Hur löser man den utan att det blir omständigt då? Har kämpst med denna i en vecka nu och har examination på den imorgon så då hade det varit bra om jag hade förstått men just nu gör jag inte det. 

Ja du får alltså använda hela kvadratens yta istället för cirkelns yta i areakalkylen. I övrigt är tillvägagångssättet detsamma. Sedan samma formel för sidoytan. Sedan summera och derivera fram resultatet.

Sammanfattning på konservburksproblemet:
Sätt konservburkens radie till r och höjden till h.

$$\begin{gathered} \mathrm{Volymen} \mathrm{V} \mathrm{är} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h} \\ \mathrm{detta} \mathrm{ger} \\ \mathrm{h}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2} \end{gathered}$$

Arean = bottenytan + toppytan+ mantelytan
1) För fallet med cirkelrund plåt utan spill fås arean

$$\begin{gathered} A=\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2+\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2 +2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{h} = 2·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2+2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{h} \\ \mathrm{sätt} \mathrm{in} \mathrm{h} \mathrm{enligt} \mathrm{ovan} \\ \mathrm{A}\left(\mathrm{r}\right)=2·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2+2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2}=2·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2+\frac{2·\mathrm{V}}{\mathrm{r}} \end{gathered}$$

derivera
A'(r)=$A\text{'}\left(r\right)=4·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}-\frac{2·\mathrm{V}}{{\mathrm{r}}^2}$
sätt derivatan till noll då fås
$4·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}=\frac{2·\mathrm{V}}{{\mathrm{r}}^2}$
sätt in värdet av V då fås
$4·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}=\frac{2·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}}{{\mathrm{r}}^2}=2·\mathrm{\pi }·\mathrm{h}$
och vi får
$\frac{h}{r}=2$

2) För fallet med kvadratisk plåt fås arean
$A={\left(2·r\right)}^2+{\left(2·r\right)}^2+2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{h}$
sätt in värdet för h då fås
$A\left(r\right)=8·r^2+\frac{2·V}{r}$

derivera
$A\text{'}\left(r\right)=16·r-\frac{2·V}{r^2}$
sätt derivatan till noll då fås
$16·r=\frac{2·V}{r^2}$

sätt in V enligt ovan då fås

$$\begin{gathered} 16·r=2·\mathrm{\pi }·\mathrm{h} \\ \mathrm{och} \\ \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{r}}=\frac{16}{2·\mathrm{\pi }}\approx 2,55 \end{gathered}$$

2) För fallet med sexkantig plåt fås arean

$A=6·r^2·\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right) +6·r^2·\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right) +2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·\mathrm{h}$
$\alpha =\frac{360°}{6}$
$\tan (30°)=\frac{1}{\sqrt{3}}$ och insättning av h värdet enligt ovan ger

$A\left(r\right)=2·\frac{6}{\sqrt{3}}·r^2+\frac{2·V}{r}=\frac{12·r^2}{\sqrt{3}}+\frac{2·V}{r}$

derivering ger

$A\text{'}\left(r\right)=\frac{24·r}{\sqrt{3}}-\frac{2·V}{r^2}$

sätt derivatan till noll och sätt in V och vi får

$\frac{24·r}{\sqrt{3}}=2·\mathrm{\pi }·\mathrm{h}$

detta ger

$\frac{h}{r}=\frac{12}{\mathrm{\pi }·\sqrt{3}}\approx 2,21$

Allmänt för regelbunden n-sidig polygon som har en inskriven cirkel med radien r fås:

$$\begin{gathered} A_{polygon}=n·r^2·\tan \left(\frac{180°}{n}\right)=r^2·k där \\ k=n·\tan \left(\frac{180°}{n}\right) \end{gathered}$$

Så i våran konservburk får vi:

$A\left(r\right)=2·r^2·k+\frac{2·V}{r}$

derivera
$A\text{'}\left(r\right)=4·k·r-\frac{2·V}{r^2}$

sätt derivatan till noll och sätt in värdet på V och vi får

$$\begin{gathered} 4·k·r=2·\mathrm{\pi }·\mathrm{h} \\ \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{r}}=\frac{4·\mathrm{k}}{2·\mathrm{\pi }} \\ \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{r}}=\frac{2}{\mathrm{\pi }}·\mathrm{n}·\tan \left(\frac{180°}{\mathrm{n}}\right) \end{gathered}$$

Lite exempel

n=3 ger  $\frac{h}{r}\approx 3,31$

n=4 ger  $\frac{h}{r}\approx 2,55$

n=6 ger $\frac{h}{r}\approx 2,21$

n=40 ger $\frac{h}{r}\approx 2,00$

Vi ser att 40 sidingen ger ett resultat som börjar närma sig cirkeln ( dvs plåten utan spill) 

Hej, jag håller på med samma uppgift och undrar varför man ska derivera? Tack på förhand!

sandy99 skrev :

Hej, jag håller på med samma uppgift och undrar varför man ska derivera? Tack på förhand!

Uppgiften går ut på att hitta ett förhållande mellan burkens höjd och radie som ger minimal materialåtgång vid en given volym, dvs hitta det förhållande mellan h och r där konservburkens area blir så liten som möjligt.

Du har tagit fram en funktion A(r) som beskriver hur arean A beror på r vid en given volym V.

För att hitta det minsta värdet på funktionen A(r) så använder vi standardmetoden för att hitta extrempunkterna, nämligen att derivera funktionen och lösa ekvationen A'(r) = 0.

Välkommen till Pluggakuten!

Kort svar: För att kunna minimera materialåtgången.

Vill du ha ett längre svar, så starta en ny tråd och visa hur långt du har kommit. /moderator

Vet inte om jag bör göra en ny tråd, men tänkte bara höra hur arean på en hexagon/sexhörning beräknas i steg 3? Det andra är jag med på men just area-delen får jag inte till.. 

Gör en ny tråd om det /moderator

Varför blir det avvikelser mellan riktiga konservburkar och beräkningarna?

harrakat skrev:

Varför blir det avvikelser mellan riktiga konservburkar och beräkningarna?

Formen på "riktiga" konservburkar kanske har valts på andra grunder än minimal materialåtgång.

Vid A=6⋅r2⋅tan(α2) +....., under beräkningen hos en sexsidig form

- varför används tan?