12 svar

380 visningar

PhilipL behöver inte mer hjälp

Konservativt vektorfält och dess potentialer.

Jag misslyckas i att beräkna potentialen och jag har räknat om detta tre gånger men kommer inte rätt så något gör jag ju fel..

Felet ligger troligtvis i min beräkning av phi

Uppgift:

$F (x, y, z) = (π * y * \sin (π * x) + H (y, z)) i + (- \cos (π * x) + x + 2 y + z^{2}) j + (2 x z + 2 y z) k$

a) Bestäm alla funktioner H(y,z) sådana att F blir konservativt samt ange alla potentialer till de motsvarande vektorfälten.

Beräkning:

Jag vet att vektorfältet är konservativt om $\frac{\partial F 1}{\partial y} = \frac{\partial F 2}{\partial x}, \frac{\partial F 2}{\partial z} = \frac{\partial F 3}{\partial y}, \frac{\partial F 1}{\partial z} = \frac{\partial F 3}{\partial x}$

Satte ekvationerna som innehåller F1 och löste ut H'(y,z) m.a.p. aktuell variabel enligt

$\frac{\partial F 1}{\partial y} = \frac{\partial F 2}{\partial x} \leftrightarrow π * \sin (π * x) + H'_{y} (y, z) = π * \sin (π + x) + 1$

Då får jag att H'(y,z) m.a.p. y ger att H(y,z) innehåller termen y.

$\frac{\partial F 1}{\partial z} = \frac{\partial F 3}{\partial x} \leftrightarrow H'_{z} (y, z) = 2 z$

Här får jag att H'(y,z) m.a.p. z ger att H(y,z) innehåller termen $z^{2}$ .

Det ger att $H (y, z) = y + z^{2}$

Då vet jag att $F 1 = π * y * \sin (π * x) + H (y, z) = π * y * \sin (π * x) + y + z^{2}$

Jag är relativt säker på att jag har beräknat H(y,z) rätt men nu ska jag beräkna potentialen till vektorfältet och här krånglar det alltid till sig..

1) Jag börjar med att få grundekvation $ϕ (x, y, z)$ , jag väljer att börja med F2 för att slippa integrera -cos.

$ϕ (x, y, z) = \int F 2 d y = \int - \cos (π * x) + x + 2 y + z^{2} d y = [- y \cos (π * x) + x y + y^{2} + y z^{2} + C_{1} (x, z)]$

2) Nu kommer beräkningen av $C_{1} (x, z)$ , som jag tror jag gör fel på.

$C_{1}' (x, z) = \frac{\partial ϕ}{\partial z} = F 3 = 2 x z + 2 y z \to C_{1} (x, z) = \int C_{1}' (x, z) = [x z^{2} + y z^{2} + C_{2} (x)]$

Då får jag att: $ϕ (x, y, z) = - y \cos (π * x) + x y + y^{2} + y z^{2} + C_{1} (x, z) = - y \cos (π * x) + x y + y^{2} + 2 y z^{2} + x z^{2} + C_{2} (x)$

3) men när jag testar att derivera m.a.p. x, y och z så blir bara F1 rätt...

Jag har testat att lägga till $C_{2} (x)$ samt ta bort $C_{1} (x, z)$ . Har även testat att börja med F1 och upprepa proceduren fast med y och z i C osv.. men alltid är det någon av de partiella derivatorna som blir fel när jag testar funktionen phi..

Någon som ser mitt fel?

Potential är en funktion vars gradient blir vektorfältet.

Aerius skrev:
Potential är en funktion vars gradient blir vektorfältet.

Precis, det är potentialen, dvs. funktionen som jag försöker få fram men jag lyckas inte riktigt och undrar vad det är jag gör för fel i min beräkning.. :/

Ditt fel är termen $2yz^{2}$ som ska vara $yz^{2}$ i potentialen. Jag kan inte direkt se var du gör fel utan måste räkna själv.

Innan dess. Är du helt säker på att ditt vektorfält är korrekt avskrivet? Kan du ta kort på uppgiften?

Yes, jag har kommit fram till att samma term är fel!

Jag har dubbelkollat funktionen flera gånger men kan mycket väl ha skrivit fel någonstans så här är en bild på uppgiften.

Mitt svar

$ϕ (x, y, z) = - y \cos (πx) + x y + y^{2} + x z^{2} + y z^{2} + G x, G ä r n å g o n k o n s \tan t$ .

Din felterm är bara ett skrivfel eftersom det står rätt på vänstersidan om likhetstecknet. Slarvfel händer så lätt.

Jag skulle argumentera för att det inte är ett slarvfel då jag har termen $y z^{2}$ , i funktionen $ϕ (x, y, z)$ , men sedan har jag ytterligare en sådan term i $C_{1} (x, z)$ .

Min $C_{1} (x, z) = x z^{2} + y z^{2}$ , då jag har integrerat F3 m.a.p. Z.

Kan du skicka bild på din beräkning eller i alla fall beskriva din beräkning av C1?

Skulle verkligen uppskatta det!

PhilipL skrev:
Det ger att $H (y, z) = y + z^{2}$

Du bör ha att $H(y,z)=y+z^{2}+C$ då alla funktioner $H(y,z)$ söks. Du måste alltså addera en konstant-term.

1) Jag börjar med att få grundekvation $ϕ (x, y, z)$ , jag väljer att börja med F2 för att slippa integrera -cos.
$ϕ (x, y, z) = \int F 2 d y = \int - \cos (π * x) + x + 2 y + z^{2} d y = [- y \cos (π * x) + x y + y^{2} + y z^{2} + C_{1} (x, z)]$

Korrekt.

2) Nu kommer beräkningen av $C_{1} (x, z)$ , som jag tror jag gör fel på.
$C_{1}' (x, z) = \frac{\partial ϕ}{\partial z} = F 3 = 2 x z + 2 y z \to C_{1} (x, z) = \int C_{1}' (x, z) = [x z^{2} + y z^{2} + C_{2} (x)]$

Det här förstår jag inte. Varför skulle $C_{1}' (x, z) = \frac{\partial ϕ}{\partial z} = F_{3}$ räcka som villkor? Jag kan ha glömt det så påminn mig gärna.

Det du vet säkert är att $\int F_{1} d x = \int F_{2} d y = \int F_{3} d z$ vilket du kan använda för att bestämma potentialen. Om vi gör det får vi:

$ϕ (x, y, z) = \int F_{1} d x = - y \cos (π x) + x y + x z^{2} + C x + C_{1} (y, z) + D ϕ (x, y, z) = \int F_{2} d y = - y \cos (π x) + x y + y^{2} + y z^{2} + C_{2} (x, z) + D ϕ (x, y, z) = \int F_{3} d z = x z^{2} + y z^{2} + C_{3} (x, y) + D$

Inspektion ger att:

$C_{1} (y, z) = y^{2} + y z^{2} C_{2} (x, z) = x z^{2} + C x C_{3} (x, y) = - y \cos (π x) + x y + y^{2} + C x$

Du får alltså potentialen som:

$ϕ (x, y, z) = - y \cos (π x) + x y + y^{2} + z^{2} (x + y) + C x + D$

Ebola skrev:
PhilipL skrev:
Det ger att $H (y, z) = y + z^{2}$
Du bör ha att $H(y,z)=y+z^{2}+C$ då alla funktioner $H(y,z)$ söks. Du måste alltså addera en konstant-term.

Yes, förstår att jag har missat ett C, lite osäker på dess funktion i vidare beräkning än så länge.

2) Nu kommer beräkningen av $C_{1} (x, z)$ , som jag tror jag gör fel på. $C_{1}' (x, z) = \frac{\partial ϕ}{\partial z} = F 3 = 2 x z + 2 y z \to C_{1} (x, z) = \int C_{1}' (x, z) = [x z^{2} + y z^{2} + C_{2} (x)]$
Det här förstår jag inte. Varför skulle $C_{1}' (x, z) = \frac{\partial ϕ}{\partial z} = F_{3}$ räcka som villkor? Jag kan ha glömt det så påminn mig gärna.

Bara en tolkning som jag trodde man kunde använda. Det är här jag tror jag är ute och cyklar lite grann. Enligt min tanke så kan $C_{1} (x, z)$ , beror på både x & z och därmed kan jag själv välja vilken partiell derivata som jag vill integrera, typ. Men jag antar att detta är helt fel!

Det du vet säkert är att $\int F_{1} d x = \int F_{2} d y = \int F_{3} d z$ vilket du kan använda för att bestämma potentialen. Om vi gör det får vi:

Detta har jag missat någonstans, inte sett den i calculus eller Mathematics handbook men extremt användbar!

$ϕ (x, y, z) = \int F_{1} d x = - y \cos (π x) + x y + x z^{2} + C x + C_{1} (y, z) + D ϕ (x, y, z) = \int F_{2} d y = - y \cos (π x) + x y + y^{2} + y z^{2} + C_{2} (x, z) + D ϕ (x, y, z) = \int F_{3} d z = x z^{2} + y z^{2} + C_{3} (x, y) + D$

I din F1 så får du med konstanten "Cx", osäker på vart du får den ifrån men gissar att det är samma C som du får från H(y,z)? Bara att du integrerar ditt C m.a.p. X?

Inspektion ger att:
$C_{1} (y, z) = y^{2} + y z^{2} C_{2} (x, z) = x z^{2} + C x C_{3} (x, y) = - y \cos (π x) + x y + y^{2} + C x$
Du får alltså potentialen som:
$ϕ (x, y, z) = - y \cos (π x) + x y + y^{2} + z^{2} (x + y) + C x + D$

Inspektionen är jag med på!

Tror jag fattar ditt sätt att beräkna, undrar bara lite över termen "Cx"

PhilipL skrev:
Bara en tolkning som jag trodde man kunde använda. Det är här jag tror jag är ute och cyklar lite grann. Enligt min tanke så kan $C_{1} (x, z)$ , beror på både x & z och därmed kan jag själv välja vilken partiell derivata som jag vill integrera, typ. Men jag antar att detta är helt fel!

Det är alltid bra att vara kreativ. Det jag blir förvirrad kring är att du antagligen vill skriva:

$\frac{\partial}{\partial z} \int F_{2} d y = F_{3}$

Men! Du glömmer att:

$\frac{\partial}{\partial z} \int F_{2} d y = 2 y z + C_{1}' (x, z)$

Alltså missade du att potentialen integrerad från $F_{2}$ har en term som beror på $z$ .

I din F1 så får du med konstanten "Cx", osäker på vart du får den ifrån men gissar att det är samma C som du får från H(y,z)?

Japp, mycket riktigt. Det är helt enkelt konstant-termen i $H(y,z)$ integrerad en gång med avseende på $x$ .

PhilipL skrev:
Ebola skrev:
PhilipL skrev:
Det ger att $H (y, z) = y + z^{2}$
Du bör ha att $H(y,z)=y+z^{2}+C$ då alla funktioner $H(y,z)$ söks. Du måste alltså addera en konstant-term.
Yes, förstår att jag har missat ett C, lite osäker på dess funktion i vidare beräkning än så länge.
2) Nu kommer beräkningen av $C_{1} (x, z)$ , som jag tror jag gör fel på. $C_{1}' (x, z) = \frac{\partial ϕ}{\partial z} = F 3 = 2 x z + 2 y z \to C_{1} (x, z) = \int C_{1}' (x, z) = [x z^{2} + y z^{2} + C_{2} (x)]$
Det här förstår jag inte. Varför skulle $C_{1}' (x, z) = \frac{\partial ϕ}{\partial z} = F_{3}$ räcka som villkor? Jag kan ha glömt det så påminn mig gärna.
Bara en tolkning som jag trodde man kunde använda. Det är här jag tror jag är ute och cyklar lite grann. Enligt min tanke så kan $C_{1} (x, z)$ , beror på både x & z och därmed kan jag själv välja vilken partiell derivata som jag vill integrera, typ. Men jag antar att detta är helt fel!
Det du vet säkert är att $\int F_{1} d x = \int F_{2} d y = \int F_{3} d z$ vilket du kan använda för att bestämma potentialen. Om vi gör det får vi:
Detta har jag missat någonstans, inte sett den i calculus eller Mathematics handbook men extremt användbar!
$ϕ (x, y, z) = \int F_{1} d x = - y \cos (π x) + x y + x z^{2} + C x + C_{1} (y, z) + D ϕ (x, y, z) = \int F_{2} d y = - y \cos (π x) + x y + y^{2} + y z^{2} + C_{2} (x, z) + D ϕ (x, y, z) = \int F_{3} d z = x z^{2} + y z^{2} + C_{3} (x, y) + D$
I din F1 så får du med konstanten "Cx", osäker på vart du får den ifrån men gissar att det är samma C som du får från H(y,z)? Bara att du integrerar ditt C m.a.p. X?
Inspektion ger att:
$C_{1} (y, z) = y^{2} + y z^{2} C_{2} (x, z) = x z^{2} + C x C_{3} (x, y) = - y \cos (π x) + x y + y^{2} + C x$
Du får alltså potentialen som:
$ϕ (x, y, z) = - y \cos (π x) + x y + y^{2} + z^{2} (x + y) + C x + D$
Inspektionen är jag med på!
Tror jag fattar ditt sätt att beräkna, undrar bara lite över termen "Cx"

I ekvationen

${C^{'}}_{1} = \frac{\partial ϕ}{\partial z}$

beräknas derivatan av C(x, z) genom att derivera hela potentialfältet m.a.p z. Men derivatan av C(x, z) är bara en del av hela potentialfältet, står en massa andra termer + C(x, z).

Det är alltid bra att vara kreativ. Det jag blir förvirrad kring är att du antagligen vill skriva:
$\frac{\partial}{\partial z} \int F_{2} d y = F_{3}$

Nja, jag ville skriva att $C_{1}' (x, z) = F_{3} = 2 x z + 2 y z$ .

Men du menar att jag ska derivera integranden av F2 med avseende på z för att få F3?

Kanske krockar vi i tolkning av F3, jag menar att F3 är funktionen för "k" som jag sedan vill integrera m.a.p. Z.

Men! Du glömmer att:
$\frac{\partial}{\partial z} \int F_{2} d y = 2 y z + C_{1}' (x, z)$
Alltså missade du att potentialen integrerad från $F_{2}$ har en term som beror på $z$ .

Jag förstår hur du har räknat här men kan jag göra samma metod med x? $\frac{\partial}{\partial x} \int F_{2} d y = - y * π * \sin (π * x) + y + C_{x}' (x, z)$ ?

Har svårt att se hur jag kan implementera det här i min beräkning då jag ändå fastnar med C:na.

Men jag testade att beräkna med inspektion som du visade här och det fungerade, antar att den metoden fungerar på alla uppgifter med konservativa vektorfält och dess potentialer.

Då kör jag nog hellre på din metod, den va lättare att minnas samt att beräkna ;)

Kul att kunna vara till hjälp!

Svara

Visa senaste svar