Konservativt vektorfält 3

Har kommit fram till följande. F är definierat i hela $D\subset {\mathrm{ℝ}}^3$ vilket medför att D är enkelt sammanhängande. Då räcker det med att bekräfta att $\dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial F_2}{\partial x}$ osv. Då ska vektorfältet F vara konservativt.

Om $C^\prime_2(z)=3z$ så är $C_2(z)=\frac32z^2+m$, där $m$ är en godtycklig konstant.

Alltså har du kommit fram till att $\phi(x,y,z)=\frac12x^2-y^2+\frac32z^2+m$

D4NIEL skrev:

Om $C^\prime_2(z)=3z$ så är $C_2(z)=\frac32z^2+m$, där $m$ är en godtycklig konstant.

Alltså har du kommit fram till att $\phi(x,y,z)=\frac12x^2-y^2+\frac32z^2+m$

Okej så det är potentialen då? Duger mitt resonemang i kommentaren om konservativa vektorfält? Tack!!

Det stämmer att ett nödvändigt villkor för ett konservativt fält $F$ är att $\nabla \times F=0$.

Men om du lyckas ta fram en potentialfunktion för vilken $F=\nabla \phi$ så har du visat att fältet är konservativt eftersom $\nabla \times F=\nabla \times (\nabla \phi)=0$.

Minnesregeln är "$\nabla\times \nabla=0$".  Notera att det är en minnesregel för nablaräkning, inte en matematisk identitet.

Du kan alltså inte hamna i ett läge där $F=\nabla \phi$ trots att fältet inte är konservativt.

D4NIEL skrev:

Det stämmer att ett nödvändigt villkor för ett konservativt fält $F$ är att $\nabla \times F=0$.

Men om du lyckas ta fram en potentialfunktion för vilken $F=\nabla \phi$ så har du visat att fältet är konservativt eftersom $\nabla \times F=\nabla \times (\nabla \phi)=0$.

Minnesregeln är "$\nabla\times \nabla=0$".  Notera att det är en minnesregel för nablaräkning, inte en matematisk identitet.

Du kan alltså inte hamna i ett läge där $F=\nabla \phi$ trots att fältet inte är konservativt.

Kan jag endast ta fram en potential om vektorfältet är konservativt?

Ja, per definition.

Vektorfältet $\mathbf{F}$ är ett potentialfält eller ett konservativt fält (samma sak!) om det i ett öppet område finns en $C^1$-funktion $\phi$ så att $\mathbf{F}=\nabla \phi$.

Notera att vi också ställer krav på området för potentialfunktionen.