6 svar
295 visningar
Gabriella S behöver inte mer hjälp
Gabriella S 368
Postad: 3 dec 2017 20:39

Konjugerade rötter

Stämmer det att z²-6z + 10=0 , kan ha rot a+bi och a-bi. 

Men x²+4ix+5= 0 kan inte ha det?

Är det för att det finns "i"?

Och har z²+4iz+5= 0 inga konjugerade rötter heller? 

SeriousCephalopod 2696
Postad: 3 dec 2017 20:45

Det här med att tötterna är konjugerande är kopplat till att koefficienterna, dvs p och q, är reella.

Om de inte är reella så är det inte nödvändigtvis så att rötterna är konjugerande. Undersök gärna om det finns något polynom med ickreella koefficienter somi har konjugerande rötter.

Gabriella S 368
Postad: 3 dec 2017 20:46 Redigerad: 3 dec 2017 20:47

 Så med andra ord p och q  får inte ha i sig "i"? Då får vi a+bi och (a-bi)

SeriousCephalopod 2696
Postad: 3 dec 2017 20:50 Redigerad: 3 dec 2017 20:51

Om p och q ärreela och ekvationens lösningar är ickereella ja då konjugerar de, ja.

Det går att se från från pq-formeln om man funderar lite.

Gabriella S 368
Postad: 3 dec 2017 20:51

Hur menar du att man kan se det från pq-formeln? 

Yngve 40157 – Livehjälpare
Postad: 3 dec 2017 21:17 Redigerad: 3 dec 2017 21:46
Gabriella S skrev :

Hur menar du att man kan se det från pq-formeln? 

pq-formeln ger alltid rötterna på formen

x=-p2±p22-q, där p22-q kallas diskriminanten.

Nu är det ju så att om diskriminanten är ett negativt reellt tal så är rötterna komplexa. Detta är bekant sedan tidigare.

Notering: Om diskriminanten är ett negativt reellt tal så är båda koefficienterna p och q reella.

Att diskriminanten är negativ innebär att vi kan skriva p22-q=-k2, för något reellt tal k. 

Det betyder att rötterna kan skrivas

x=-p2±-k2=-p2±ki

Dvs vi har att

x1=-p2+ki

x2=-p2-ki

Eftersom p är ett reellt tal så har vi nu att x1 och x2 är komplexkonjugerade.

Gabriella S 368
Postad: 3 dec 2017 21:44

Danke Yngve!

Svara
Close